Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: a) Chứng minh...

Bài 6: Để giải quyết các phần của bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết và logic. Phần a) Chứng minh AADB ~ AAEC và AAED ~ AACB - Trong tam giác ADB và AEC, ta có: - $$ (vì BD và CE là đường cao) - $$ (góc chung) Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có: $$ - Trong tam giác AED và ACB, ta có: - $$ (góc chung) - $$ (góc chung) Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có: $$ Phần b) Chứng minh: HE.HC = HD.HB - Ta có $$, do đó: $$ - Ta cũng có $$, do đó: $$ - Xét tam giác HEB và HCD, ta có: - $$ (góc đối đỉnh) - $$ (góc giữa đường cao và đường thẳng) Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có: $$ Từ đó suy ra: $$ $$ Phần c) Chứng minh H, M, K thẳng hàng và góc AED bằng góc ACB - Ta đã chứng minh $$, do đó: $$ - Vì K là giao điểm của đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C, nên K nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (đường tròn Euler). Do đó, H, M, K thẳng hàng (M là trung điểm của BC). Phần d) AH cắt BC tại O. Chứng minh: BE:BA + CD.CA = BC^2 - Ta có: $$ - Vì $$, ta có: $$ - Ta cũng có: $$ Phần e) Chứng minh $$ - Ta có: $$ - Vì H là trực tâm của tam giác ABC, nên: $$ Phần f) Chứng minh H là giao điểm các đường phân giác của tam giác ODE - Ta có: $$ - Vì H là trực tâm của tam giác ABC, nên H là giao điểm các đường phân giác của tam giác ODE. Phần g) Cho góc ACB = 45°, gọi P là trung điểm của DC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BP tại I và cắt CK tại N. Tìm tỉ số diện tích của tứ giác CPIN và diện tích tam giác DCN - Ta có: $$ Phần h) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là hình thoi? Hình chữ nhật? - Tứ giác BHCK là hình thoi khi: $$ - Tứ giác BHCK là hình chữ nhật khi: $$