giải chi tiết Câu 14. Polonium $^{210}_{84}Po$ là chất phóng xạ a có chu kì bán rã 138 ngày và biến đổi thành hạt nhân lead (chì),$^{206}_{82}~Pb.$ Ban đầu $(t=0),$ một mẫu có khối lượng m (g) trong đó 80% khối lượng của mẫu là chất phóng xạ,polonium $^{210}_{84}Po,$ phần còn lại không có tính phóng xạ. Giả sử toàn bộ các hạt ax sinh ra trong quá trình phóng,xạ đều thoát ra khỏi mẫu. Lấy khối lượng của các hạt nhân bằng số khối của chúng tính theo đơn vị amu. Sau ba,năm, khối lượng của hạt x thoát ra khỏi mẫu là 1 gam. Giá trị của m là

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần tính toán khối lượng ban đầu của chất phóng xạ polonium $^{210}_{84}Po$ trong mẫu.

### Bước 1: Tính số lượng chu kỳ bán rã trong 3 năm

Chu kỳ bán rã của polonium là 138 ngày. Đầu tiên, chúng ta cần tính số chu kỳ bán rã trong 3 năm:

- Số ngày trong 3 năm:
  $$
  3 \text{ năm} = 3 \times 365 = 1095 \text{ ngày}
  $$
- Số chu kỳ bán rã trong 3 năm:
  $$
  n = \frac{1095 \text{ ngày}}{138 \text{ ngày/chu kỳ}} \approx 7.94
  $$

### Bước 2: Tính khối lượng polonium còn lại sau 3 năm

Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau thời gian $t$ có thể tính bằng công thức:
$$
m_t = m_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n}
$$
Trong đó:
- $ m_0 $ là khối lượng ban đầu của polonium
- $ m_t $ là khối lượng polonium còn lại sau thời gian $t$
- $ n $ là số chu kỳ bán rã đã trôi qua

Khối lượng ban đầu của polonium là:
$$
m_0 = 0.8m
$$
Khối lượng polonium còn lại sau 3 năm:
$$
m_t = 0.8m \left( \frac{1}{2} \right)^{7.94}
$$

### Bước 3: Tính khối lượng hạt x thoát ra

Khối lượng hạt x thoát ra khỏi mẫu sau 3 năm là khối lượng ban đầu trừ đi khối lượng còn lại:
$$
m_x = m_0 - m_t = 0.8m - 0.8m \left( \frac{1}{2} \right)^{7.94}
$$
$$
= 0.8m \left( 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{7.94} \right)
$$

Theo đề bài, khối lượng của hạt x thoát ra là 1 gam, tức là:
$$
0.8m \left( 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{7.94} \right) = 1 \text{ gam}
$$

### Bước 4: Tính giá trị của m

Chúng ta cần tính giá trị của $ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{7.94} $:
$$
\left( \frac{1}{2} \right)^{7.94} \approx 0.0057 \Rightarrow 1 - 0.0057 \approx 0.9943
$$

Bây giờ thay vào phương trình:
$$
0.8m \times 0.9943 = 1
$$
$$
m = \frac{1}{0.8 \times 0.9943} \approx \frac{1}{0.79544} \approx 1.257
$$

### Kết luận

Khối lượng của mẫu ban đầu $ m $ là khoảng 1.26 gam.

$$
\text{Giá trị của } m \text{ là } 1.26 \text{ gam.}
$$