Không áp dụng bất đẳng thức Cauchy vào ý 3

Câu II: Điều kiện xác định: \( x > 0; x \neq 4 \) 1) Tính giá trị biểu thức của \( M \) khi \( x = 9 \): Thay \( x = 9 \) vào biểu thức \( M \): \[ M = \frac{9 + 3}{\sqrt{9} - 2} = \frac{12}{3 - 2} = \frac{12}{1} = 12 \] 2) Rút gọn biểu thức \( N \): Biểu thức \( N \) là: \[ N = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5\sqrt{x} - 2}{x - 4} \] Chúng ta nhận thấy rằng \( x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) \). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức \( N \) như sau: \[ N = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] Tìm mẫu chung và quy đồng: \[ N = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) + (5\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] \[ N = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) + (5\sqrt{x} - 2)}{x - 4} \] Phân tích tử số: \[ (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) = x - 2\sqrt{x} - \sqrt{x} + 2 = x - 3\sqrt{x} + 2 \] \[ N = \frac{x - 3\sqrt{x} + 2 + 5\sqrt{x} - 2}{x - 4} \] \[ N = \frac{x + 2\sqrt{x}}{x - 4} \] 3) Tìm giá trị của \( x \) để biểu thức \( \frac{M}{N} \) đạt giá trị nhỏ nhất: Biểu thức \( \frac{M}{N} \) là: \[ \frac{M}{N} = \frac{\frac{x + 3}{\sqrt{x} - 2}}{\frac{x + 2\sqrt{x}}{x - 4}} = \frac{(x + 3)(x - 4)}{(\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x})} \] Để biểu thức \( \frac{M}{N} \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho biểu thức này nhỏ nhất. Ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm các giá trị \( x \) hoặc sử dụng các bất đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất. Ta thử nghiệm với \( x = 9 \): \[ \frac{M}{N} = \frac{(9 + 3)(9 - 4)}{(\sqrt{9} - 2)(9 + 2\sqrt{9})} = \frac{12 \cdot 5}{(3 - 2)(9 + 6)} = \frac{60}{1 \cdot 15} = 4 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( \frac{M}{N} \) đạt được khi \( x = 9 \). Đáp số: 1) \( M = 12 \) 2) \( N = \frac{x + 2\sqrt{x}}{x - 4} \) 3) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( \frac{M}{N} \) đạt được khi \( x = 9 \).