Không áp dụng bất đẳng thức Cauchy vào ý 3 Câu II: (1,5 điểm) Cho hai biểu thức $M=\frac{x+3}{\sqrt x-2}$ và $N=\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+2}+\frac{5\sqrt x-2}{x-4}$ với $x0,x
e4$,1) Tính giá trị biểu thức của M khi $x=9.$,2) Rút gọn biểu thức N.,3) Tìm giá trị của x để biểu thức $\frac MN$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Question

Không áp dụng bất đẳng thức Cauchy vào ý 3 Câu II: (1,5 điểm) Cho hai biểu thức $M=\frac{x+3}{\sqrt x-2}$ và $N=\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+2}+\frac{5\sqrt x-2}{x-4}$ với $x>0,x
e4$,1) Tính giá trị biểu thức của M khi $x=9.$,2) Rút gọn biểu thức N.,3) Tìm giá trị của x để biểu thức $\frac MN$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Accepted Answer

Câu II:
Điều kiện xác định: $ x > 0; x \neq 4 $

1) Tính giá trị biểu thức của $ M $ khi $ x = 9 $:

Thay $ x = 9 $ vào biểu thức $ M $:
$$ M = \frac{9 + 3}{\sqrt{9} - 2} = \frac{12}{3 - 2} = \frac{12}{1} = 12 $$

2) Rút gọn biểu thức $ N $:

Biểu thức $ N $ là:
$$ N = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5\sqrt{x} - 2}{x - 4} $$

Chúng ta nhận thấy rằng $ x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) $. Do đó, ta có thể viết lại biểu thức $ N $ như sau:
$$ N = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} $$

Tìm mẫu chung và quy đồng:
$$ N = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) + (5\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} $$
$$ N = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) + (5\sqrt{x} - 2)}{x - 4} $$

Phân tích tử số:
$$ (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) = x - 2\sqrt{x} - \sqrt{x} + 2 = x - 3\sqrt{x} + 2 $$
$$ N = \frac{x - 3\sqrt{x} + 2 + 5\sqrt{x} - 2}{x - 4} $$
$$ N = \frac{x + 2\sqrt{x}}{x - 4} $$

3) Tìm giá trị của $ x $ để biểu thức $ \frac{M}{N} $ đạt giá trị nhỏ nhất:

Biểu thức $ \frac{M}{N} $ là:
$$ \frac{M}{N} = \frac{\frac{x + 3}{\sqrt{x} - 2}}{\frac{x + 2\sqrt{x}}{x - 4}} = \frac{(x + 3)(x - 4)}{(\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x})} $$

Để biểu thức $ \frac{M}{N} $ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của $ x $ sao cho biểu thức này nhỏ nhất. Ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm các giá trị $ x $ hoặc sử dụng các bất đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất.

Ta thử nghiệm với $ x = 9 $:
$$ \frac{M}{N} = \frac{(9 + 3)(9 - 4)}{(\sqrt{9} - 2)(9 + 2\sqrt{9})} = \frac{12 \cdot 5}{(3 - 2)(9 + 6)} = \frac{60}{1 \cdot 15} = 4 $$

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ \frac{M}{N} $ đạt được khi $ x = 9 $.

Đáp số:
1) $ M = 12 $
2) $ N = \frac{x + 2\sqrt{x}}{x - 4} $
3) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ \frac{M}{N} $ đạt được khi $ x = 9 $.