Giải hộ mình câu này với các bạn Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc=1.$ Chứng minh rằng:,$a)~\frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}\geq\frac32.$,$b)~\frac{a^3+b^3+c^3}2\geq\frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}.$

Question

Accepted Answer

Câu 6
Để chứng minh các bất đẳng thức trên, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích và áp dụng các bất đẳng thức cơ bản.

Phần a) Chứng minh $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$

Ta sử dụng bất đẳng thức Nesbitt, một bất đẳng thức nổi tiếng trong toán học.

Bất đẳng thức Nesbitt: Với mọi số thực dương $a, b, c$, ta có:
$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} $$

Do đó, ta đã chứng minh được:
$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} $$

Phần b) Chứng minh $\frac{a^3 + b^3 + c^3}{2} \geq \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}$

Ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng - trung bình nhân).

Bất đẳng thức AM-GM: Với mọi số thực dương $a, b, c$, ta có:
$$ a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc $$

Vì $abc = 1$, nên:
$$ a^3 + b^3 + c^3 \geq 3 $$

Do đó:
$$ \frac{a^3 + b^3 + c^3}{2} \geq \frac{3}{2} $$

Theo phần a), ta đã chứng minh:
$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} $$

Vậy:
$$ \frac{a^3 + b^3 + c^3}{2} \geq \frac{3}{2} \geq \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} $$

Từ đó, ta đã chứng minh được:
$$ \frac{a^3 + b^3 + c^3}{2} \geq \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} $$

Kết luận
- Ta đã chứng minh được $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$.
- Ta cũng đã chứng minh được $\frac{a^3 + b^3 + c^3}{2} \geq \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}$.