giải dúp m vGiúp mình với!

Câu 9. Điều kiện xác định: \( x > 0; x \neq 4 \). Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức \( A \). Ta có: \[ A = \left( \frac{1}{x - 2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 4\sqrt{x} + 4} \] Bước 2: Chuyển đổi biểu thức \( x - 2\sqrt{x} \) thành dạng nhân tử: \[ x - 2\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) \] Bước 3: Thay vào biểu thức \( A \): \[ A = \left( \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 4\sqrt{x} + 4} \] Bước 4: Quy đồng mẫu số ở phần trong ngoặc: \[ \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} \] Bước 5: Nhân chia biểu thức: \[ A = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} : \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 4\sqrt{x} + 4} \] Bước 6: Chuyển đổi biểu thức \( x - 4\sqrt{x} + 4 \) thành dạng nhân tử: \[ x - 4\sqrt{x} + 4 = (\sqrt{x} - 2)^2 \] Bước 7: Thay vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} : \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 2)^2} \] Bước 8: Chuyển đổi phép chia thành phép nhân: \[ A = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} \times \frac{(\sqrt{x} - 2)^2}{\sqrt{x} + 1} \] Bước 9: Rút gọn biểu thức: \[ A = \frac{(1 + \sqrt{x})(\sqrt{x} - 2)^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ A = \frac{(\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x}} \] Bước 10: Kết luận: \[ A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \] Đáp số: \( A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \) Câu 10. Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx-y=3\\2x+y=3\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Hệ phương trình này không chứa phân thức hoặc căn thức, do đó không cần xác định điều kiện xác định. Bước 2: Giải phương trình đầu tiên để tìm một biến: - Ta có phương trình đầu tiên là $x - y = 3$. - Ta có thể giải phương trình này theo $x$: $x = y + 3$. Bước 3: Thay giá trị của $x$ vào phương trình thứ hai: - Thay $x = y + 3$ vào phương trình thứ hai $2x + y = 3$, ta được: \[2(y + 3) + y = 3\] \[2y + 6 + y = 3\] \[3y + 6 = 3\] \[3y = 3 - 6\] \[3y = -3\] \[y = -1\] Bước 4: Tìm giá trị của $x$: - Thay $y = -1$ vào phương trình $x = y + 3$, ta được: \[x = -1 + 3\] \[x = 2\] Bước 5: Kiểm tra lại: - Thay $x = 2$ và $y = -1$ vào phương trình đầu tiên: \[2 - (-1) = 3\] \[2 + 1 = 3\] \[3 = 3\] (Đúng) - Thay $x = 2$ và $y = -1$ vào phương trình thứ hai: \[2(2) + (-1) = 3\] \[4 - 1 = 3\] \[3 = 3\] (Đúng) Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (2, -1)$. Đáp số: $(x, y) = (2, -1)$. Câu 11. Để tính giá trị của biểu thức \( T = \frac{x_1^2}{x_2} + \frac{x_2^2}{x_1} \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai \( x^2 + x - 3 = 0 \): - Tổng các nghiệm: \( x_1 + x_2 = -1 \) - Tích các nghiệm: \( x_1 \cdot x_2 = -3 \) Bước 2: Xét biểu thức \( T = \frac{x_1^2}{x_2} + \frac{x_2^2}{x_1} \): \[ T = \frac{x_1^2}{x_2} + \frac{x_2^2}{x_1} \] Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với \( x_1 \cdot x_2 \): \[ T = \frac{x_1^3}{x_1 \cdot x_2} + \frac{x_2^3}{x_1 \cdot x_2} \] \[ T = \frac{x_1^3 + x_2^3}{x_1 \cdot x_2} \] Bước 4: Áp dụng công thức \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \): \[ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 \cdot x_2 + x_2^2) \] Bước 5: Thay \( x_1 + x_2 = -1 \) và \( x_1 \cdot x_2 = -3 \) vào: \[ x_1^3 + x_2^3 = (-1)(x_1^2 - x_1 \cdot x_2 + x_2^2) \] Bước 6: Ta biết rằng \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 \cdot x_1 \cdot x_2 \): \[ x_1^2 + x_2^2 = (-1)^2 - 2(-3) \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 1 + 6 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 7 \] Bước 7: Thay \( x_1^2 + x_2^2 = 7 \) và \( x_1 \cdot x_2 = -3 \) vào: \[ x_1^2 - x_1 \cdot x_2 + x_2^2 = 7 - (-3) \] \[ x_1^2 - x_1 \cdot x_2 + x_2^2 = 7 + 3 \] \[ x_1^2 - x_1 \cdot x_2 + x_2^2 = 10 \] Bước 8: Thay vào biểu thức \( x_1^3 + x_2^3 \): \[ x_1^3 + x_2^3 = (-1) \cdot 10 \] \[ x_1^3 + x_2^3 = -10 \] Bước 9: Thay vào biểu thức \( T \): \[ T = \frac{-10}{-3} \] \[ T = \frac{10}{3} \] Vậy giá trị của biểu thức \( T \) là: \[ T = \frac{10}{3} \] Câu 12. Tổng số cách xếp 3 bạn Bảo, Châu, Dương ngồi trên hàng ghế có 3 chỗ ngồi là: $3 \times 2 \times 1 = 6$ (cách) Trường hợp Bảo ngồi ngoài cùng bên phải, ta có 2 chỗ ngồi còn lại để xếp 2 bạn Châu và Dương. Số cách xếp 2 bạn này vào 2 chỗ ngồi còn lại là: $2 \times 1 = 2$ (cách) Xác suất của biến cố "Bảo ngồi ngoài cùng bên phải" là: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ Đáp số: $\frac{1}{3}$ Câu 13. Gọi số học sinh lớp 9A là x (bạn, điều kiện: x > 10). Số cây mỗi bạn dự định trồng là $\frac{350}{x}$ (cây). Số cây mỗi bạn thực tế trồng là $\frac{350}{x-10}$ (cây). Theo đề bài, ta có: $\frac{350}{x-10} - \frac{350}{x} = 4$ $\frac{350x - 350(x-10)}{x(x-10)} = 4$ $\frac{3500}{x(x-10)} = 4$ $x(x-10) = 875$ $x^2 - 10x - 875 = 0$ (x - 35)(x + 25) = 0 x = 35 hoặc x = -25 (loại) Vậy lớp 9A có 35 học sinh. Câu 17. 1) Ta có $\widehat{QDR}=\widehat{QER}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 2) a) Ta có $\widehat{QDR}=\widehat{QER}=90^\circ$ nên $DQ\perp ER$ và $EQ\perp DR$. Do đó tứ giác $DEQR$ nội tiếp đường tròn đường kính $QR$. Lại có $ID=IP$ (I là trung điểm của PH) nên $ID^2=IP^2=IQ\times IR$ (tính chất đường cao hạ từ đỉnh góc vuông của tam giác vuông) Do đó $ID$ là tiếp tuyến của đường tròn (O) (tiêu chuẩn nhận biết tiếp tuyến) b) Ta có $OM$ là đường trung bình của tam giác $HDR$ nên $OM\parallel DH$. Mà $ID$ là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $ID\perp OD$. Suy ra $ID\perp OM$. Mặt khác, ta có $IM$ là đường trung bình của tam giác $PHR$ nên $IM\parallel PR$. Mà $PR\perp EQ$ nên $IM\perp EQ$. Từ đó suy ra $IM\perp OM$. Câu 18. a) Gọi chiều dài và chiều rộng của cánh đồng hình chữ nhật lần lượt là x và y (m), với điều kiện x > 0 và y > 0. Theo đề bài, tổng chiều dài của hàng rào là 2400m, do đó ta có: \[ x + 2y = 2400 \] Diện tích S của cánh đồng hình chữ nhật là: \[ S = x \cdot y \] Từ phương trình \( x + 2y = 2400 \), ta có thể biểu diễn x theo y: \[ x = 2400 - 2y \] Thay vào công thức diện tích: \[ S = (2400 - 2y) \cdot y = 2400y - 2y^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của S, ta sử dụng phương pháp tìm cực đại của hàm bậc hai. Hàm số \( S = -2y^2 + 2400y \) là một parabol mở xuống, do đó giá trị lớn nhất của S xảy ra tại đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh của parabol \( ay^2 + by + c \) là: \[ y = -\frac{b}{2a} \] Trong trường hợp này, \( a = -2 \) và \( b = 2400 \): \[ y = -\frac{2400}{2 \times (-2)} = 600 \] Thay y = 600 vào phương trình \( x = 2400 - 2y \): \[ x = 2400 - 2 \times 600 = 1200 \] Do đó, diện tích lớn nhất của cánh đồng là: \[ S = 1200 \times 600 = 720000 \text{ m}^2 \] b) Ta có \( ab + bc + ca = 3abc \). Chia cả hai vế cho abc, ta được: \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3 \] Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[ M = \frac{a}{a^2 + bc} + \frac{b}{b^2 + ca} + \frac{c}{c^2 + ab} \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ \left( \frac{a}{a^2 + bc} + \frac{b}{b^2 + ca} + \frac{c}{c^2 + ab} \right) \left( a(a^2 + bc) + b(b^2 + ca) + c(c^2 + ab) \right) \geq (a + b + c)^2 \] Biến đổi: \[ a(a^2 + bc) + b(b^2 + ca) + c(c^2 + ab) = a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \] Do đó: \[ M \left( a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \right) \geq (a + b + c)^2 \] Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \[ a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc \] Vậy: \[ a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq 6abc \] Do đó: \[ M \geq \frac{(a + b + c)^2}{6abc} \] Vì \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3 \), ta có: \[ a + b + c \leq 3 \sqrt[3]{abc} \] Do đó: \[ (a + b + c)^2 \leq 9abc \] Vậy: \[ M \leq \frac{9abc}{6abc} = \frac{3}{2} \] Giá trị lớn nhất của M là \( \frac{3}{2} \), đạt được khi \( a = b = c \). Đáp số: a) Diện tích lớn nhất của cánh đồng là 720000 m². b) Giá trị lớn nhất của biểu thức M là \( \frac{3}{2} \).