Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB=3cm, AC=4cm, BC=5cm. Trên tia đối tia AB lấy diểm D sao cho A là trung điểm của BD. M là giao điểm của AC và DK. Tính MC

Trước tiên, ta vẽ hình và đánh dấu các điểm đã cho. 1. Ta có tam giác ABC vuông tại A với AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. 2. Trên tia đối của tia AB, ta lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Điều này có nghĩa là AD = AB = 3 cm. 3. Ta nối điểm D với điểm C để tạo thành đoạn thẳng DC. 4. Ta gọi M là giao điểm của AC và DK. Bây giờ, ta sẽ tính MC. - Vì A là trung điểm của BD, nên ta có BD = 2 × AB = 2 × 3 = 6 cm. - Ta thấy tam giác ABD là tam giác cân tại A, do đó góc BAD = góc ADB. - Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90°. - Ta có góc DAC = 180° - góc BAD (vì A là trung điểm của BD và góc BAD = góc ADB). - Do đó, góc DAC = 180° - góc BAD = 180° - góc ADB = 90° (vì tam giác ABD cân tại A và góc BAD = góc ADB). Vậy tam giác ADC cũng là tam giác vuông tại A. - Ta biết AC = 4 cm và AD = 3 cm. - Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ADC, ta có: \[ DC^2 = AD^2 + AC^2 \] \[ DC^2 = 3^2 + 4^2 \] \[ DC^2 = 9 + 16 \] \[ DC^2 = 25 \] \[ DC = 5 \text{ cm} \] - Vì tam giác ADC là tam giác vuông tại A và có AC = 4 cm, AD = 3 cm, DC = 5 cm, nên tam giác ADC là tam giác vuông cân. - Do đó, tam giác ADC có diện tích bằng $\frac{1}{2} \times AC \times AD = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \text{ cm}^2$. - Ta thấy tam giác AMC và tam giác AMD có chung đáy AM và chiều cao từ C và D hạ xuống AM lần lượt là AC và AD. - Vì tam giác ADC là tam giác vuông cân, nên diện tích tam giác AMC bằng diện tích tam giác AMD. - Diện tích tam giác AMC = $\frac{1}{2} \times$ diện tích tam giác ADC = $\frac{1}{2} \times 6 = 3 \text{ cm}^2$. - Ta thấy tam giác AMC có diện tích bằng 3 cm² và AC = 4 cm, nên chiều cao hạ từ M xuống AC là: \[ \frac{1}{2} \times AC \times MC = 3 \] \[ \frac{1}{2} \times 4 \times MC = 3 \] \[ 2 \times MC = 3 \] \[ MC = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ cm} \] Vậy MC = 1.5 cm. Đáp số: MC = 1.5 cm.