helpppppppppp meeeeee

Linh Đan

Bài 2:

Gọi $v$ là vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B (km/h).

Khi đó, thời gian đi từ A đến B là $\frac{156}{v}$ (giờ).

Khi đi từ B về A:

- Quãng đường giảm 36km so với lúc đi, nên quãng đường là $156 - 36 = 120$ km.

- Vận tốc tăng 32km/h so với lúc đi, nên vận tốc là $v + 32$ km/h.

- Thời gian đi từ B về A là $\frac{120}{v+32}$ (giờ).

Theo đề bài, thời gian đi từ A đến B nhiều hơn thời gian đi từ B về A là 1 giờ 45 phút, tức là $1 + \frac{45}{60} = 1.75$ giờ. Ta có phương trình:

$\frac{156}{v} - \frac{120}{v+32} = 1.75$

Quy đồng và khử mẫu:

$156(v+32) - 120v = 1.75v(v+32)$

$156v + 4992 - 120v = 1.75v^2 + 56v$

$36v + 4992 = 1.75v^2 + 56v$

$1.75v^2 + 20v - 4992 = 0$

Nhân cả hai vế với 4:

$7v^2 + 80v - 19968 = 0$

Giải phương trình bậc hai:

$\Delta = 80^2 - 4(7)(-19968) = 6400 + 558848 = 565248$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{565248} = 751.83$

$v = \frac{-80 \pm 751.83}{14}$

$v_1 = \frac{-80 + 751.83}{14} \approx 47.98$

$v_2 = \frac{-80 - 751.83}{14} \approx -59.42$

Vì vận tốc không thể âm, ta lấy $v \approx 47.98$ km/h.

Vậy vận tốc ô tô khi đi từ A đến B là khoảng 47.98 km/h.

Bài 3:

Cho phương trình $x^2 + 5x - 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Theo định lý Viète, ta có:

$x_1 + x_2 = -5$

$x_1x_2 = -3$

Ta cần tính $A = (x_1 - x_2)^4 + |x_1| - |x_2|$

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (-5)^2 - 4(-3) = 25 + 12 = 37$

$(x_1 - x_2)^4 = ((x_1 - x_2)^2)^2 = 37^2 = 1369$

$x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 + 5x - 3 = 0$. Ta có:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{37}}{2} \approx 0.54$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{37}}{2} \approx -5.54$

Do đó, $|x_1| = \frac{-5 + \sqrt{37}}{2}$ và $|x_2| = \frac{5 + \sqrt{37}}{2}$

$|x_1| - |x_2| = \frac{-5 + \sqrt{37}}{2} - \frac{5 + \sqrt{37}}{2} = \frac{-5 + \sqrt{37} - 5 - \sqrt{37}}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Vậy $A = (x_1 - x_2)^4 + |x_1| - |x_2| = 1369 - 5 = 1364$

Bài IV:

a. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp:

Tứ giác ADHE có $\angle ADH = 90^\circ$ (do BD là đường cao) và $\angle AEH = 90^\circ$ (do CE là đường cao).

$\angle ADH + \angle AEH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Vậy tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn (tổng hai góc đối bằng 180 độ).

b. Chứng minh rằng ba điểm H, J, I thẳng hàng:

Gọi I là điểm đối xứng của A qua O, vậy AI là đường kính của đường tròn (O).

Gọi J là trung điểm của BC. Ta cần chứng minh H, J, I thẳng hàng.

Xét tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm, J là trung điểm BC.

Ta có OI vuông góc với BC (đường kính vuông góc với dây cung).

Áp dụng định lý Euler cho tam giác ABC, ta có $\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$.

Vì J là trung điểm BC, nên $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OJ}$.

Vậy $\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OJ}$.

Ta có $\overrightarrow{OI} = -\overrightarrow{OA}$, vậy $\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OI}$.

Thay vào, ta có $\overrightarrow{OH} = -\overrightarrow{OI} + 2\overrightarrow{OJ}$

$\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OI} = 2\overrightarrow{OJ}$

Gọi M là trung điểm HI, vậy $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OI}}{2} = \overrightarrow{OJ}$

Suy ra O, J, M thẳng hàng, hay J là trung điểm HI. Vậy H, J, I thẳng hàng.

c. Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD. Chứng minh rằng $\frac{1}{DK^2} = \frac{1}{DA^2} + \frac{1}{DM^2}$

(Câu này cần thêm thông tin để giải)

Bài V:

Thể tích của hộp chữ nhật là 200 cm$^3$.

Có 20 viên phấn hình trụ, mỗi viên cao 12cm và chu vi đáy là 3.14cm.

Chu vi đáy của viên phấn là $C = 2\pi r = 3.14$

$r = \frac{3.14}{2\pi} = \frac{3.14}{2(3.14)} = \frac{1}{2} = 0.5$ cm

Diện tích đáy của viên phấn hình trụ là $S = \pi r^2 = 3.14 (0.5)^2 = 3.14 (0.25) = 0.785$ cm$^2$

Thể tích của một viên phấn là $V_{phấn} = S \cdot h = 0.785 \cdot 12 = 9.42$ cm$^3$

Thể tích của 20 viên phấn là $20 \cdot 9.42 = 188.4$ cm$^3$

Thể tích không gian trống bên trong hộp là:

$V_{trống} = V_{hộp} - V_{phấn} = 200 - 188.4 = 11.6$ cm$^3$