Cho lăng trụ đều ABC A'B'C'Biết góc giữa (A'BC)và (ABC) là 60° ;AB =3. a) Tính thể tích khối lăng trụ đều ABC.A'B'C'. b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng A'BC.

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các thông tin đã biết
- Lăng trụ đều $ABC - A'B'C'$
- Góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ là $60^\circ$
- $AB = 3$

Bước 2: Xác định chiều cao của lăng trụ
Gọi $h$ là chiều cao của lăng trụ. Vì lăng trụ đều, nên đáy là tam giác đều và các cạnh bên vuông góc với đáy.

Bước 3: Xác định diện tích đáy
Diện tích đáy $S_{ABC}$ của tam giác đều $ABC$ với cạnh $AB = 3$ là:
$$ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times AB^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4} $$

Bước 4: Xác định chiều cao của lăng trụ
Gọi $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$. Chiều cao $h$ của lăng trụ là khoảng cách từ $A'$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

Trong tam giác đều $ABC$, đường cao $AO$ là:
$$ AO = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

Gọi $H$ là hình chiếu của $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$. Ta có:
$$ \angle A'HA = 60^\circ $$
$$ AH = AO = \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

Trong tam giác vuông $A'HA$:
$$ h = A'H = AH \cdot \tan(60^\circ) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{9}{2} $$

Bước 5: Tính thể tích của lăng trụ
Thể tích $V$ của lăng trụ đều $ABC - A'B'C'$ là:
$$ V = S_{ABC} \times h = \frac{9\sqrt{3}}{4} \times \frac{9}{2} = \frac{81\sqrt{3}}{8} $$

Bước 6: Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A'BC)$
Gọi khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A'BC)$ là $d$.

Diện tích tam giác $A'BC$ là:
$$ S_{A'BC} = \frac{1}{2} \times BC \times A'H = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{9}{2} = \frac{27}{4} $$

Thể tích khối chóp $A - A'BC$ là:
$$ V_{A - A'BC} = \frac{1}{3} \times S_{A'BC} \times d = \frac{1}{3} \times \frac{27}{4} \times d = \frac{9d}{4} $$

Ta cũng có thể tính thể tích khối chóp $A - A'BC$ bằng cách lấy thể tích lăng trụ chia cho 3:
$$ V_{A - A'BC} = \frac{1}{3} \times V = \frac{1}{3} \times \frac{81\sqrt{3}}{8} = \frac{27\sqrt{3}}{8} $$

Bằng cách so sánh hai biểu thức trên, ta có:
$$ \frac{9d}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{8} $$
$$ d = \frac{27\sqrt{3}}{8} \times \frac{4}{9} = \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

Đáp số
a) Thể tích của khối lăng trụ đều $ABC - A'B'C'$ là:
$$ V = \frac{81\sqrt{3}}{8} $$

b) Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A'BC)$ là:
$$ d = \frac{3\sqrt{3}}{2} $$