Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp O có đường kính AK, hai đường cao AD,BE cắt nhau tại H. Gọi S là hình chiếu của B trên AK CMR: Tứ giác ABSE nội tiếp

🌺 Claire Beatrice Lafont (Catalina) ≽^•⩊•^≼ 🌺

Lời giải:

Gọi $C$ là giao điểm của $AD$ và $BE$.

Do $AD, BE$ là đường cao của $\triangle ABC$ nên $H$ là trực tâm của $\triangle ABC$.

Do $S$ là hình chiếu của $B$ trên $AK$ nên $BS \perp AK$.

Mặt khác, $AK$ là đường kính của đường tròn $(O)$ nên $\angle ABK = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Hay $AB \perp BK$.

Ta có $BE \perp AC$ và $AD \perp BC$ nên $H$ là trực tâm của $\triangle ABC$.

Do đó $CH \perp AB$.

Gọi $E'$ là giao điểm của $CH$ với đường tròn $(O)$.

Vì $CH \perp AB$ nên $E'E$ là đường kính của đường tròn $(O)$.

Ta có $\angle ABE = \angle ACE$ (cùng phụ với góc $\angle BAC$).

Mặt khác, tứ giác $ABSE$ nội tiếp khi và chỉ khi $\angle ABS = \angle AES$.

Ta có $\angle ABS = 90^\circ - \angle SAB$ và $\angle AES = 90^\circ - \angle SAE = 90^\circ - \angle CAE$.

Mà $\angle SAB = \angle KAB = \angle KCB$ và $\angle CAE = \angle CBE$.

Do tứ giác $ABKC$ nội tiếp nên $\angle KAB = \angle KCB$.

Tứ giác $ABSE$ nội tiếp khi và chỉ khi $\angle ABS = \angle AES$

$\Leftrightarrow 90^\circ - \angle KAB = 90^\circ - \angle CAE$

$\Leftrightarrow \angle KAB = \angle CAE$

$\Leftrightarrow \angle KCB = \angle CBE$.

Mặt khác, $\angle CBE = \angle CAE$ nên $\angle KCB = \angle CAE$.

Do đó, ta cần chứng minh $\angle KCB = \angle CAE$.

Vì $\angle AKC$ chắn cung $AC$ và $\angle ABC$ chắn cung $AC$ nên $\angle AKC = \angle ABC$.

Mà $\angle ABC + \angle ACB = 90^\circ$ và $\angle AKC + \angle KAC = 90^\circ$.

Suy ra $\angle KAC = \angle ACB$.

Mà $\angle KAC = \angle KBC$ nên $\angle ACB = \angle KBC$.

Vì $S$ là hình chiếu của $B$ trên $AK$ nên $\angle BSK = 90^\circ$.

Do đó tứ giác $BSHK$ nội tiếp.

Suy ra $\angle BSH = 180^\circ - \angle BKH = 180^\circ - (90^\circ - \angle KAB) = 90^\circ + \angle KAB$.

Mà $\angle BAE = 90^\circ - \angle ABC$.

Tứ giác $ABSE$ nội tiếp khi và chỉ khi $\angle BSH = 180^\circ - \angle BAS$

$\Leftrightarrow 90^\circ + \angle KAB = 180^\circ - (90^\circ - \angle ABC)$

$\Leftrightarrow \angle KAB = \angle ABC$, đúng vì cùng chắn cung $AC$.

Vậy tứ giác $ABSE$ nội tiếp.