Hãy chọn chữ cái đứng trước phương án trả lời đúng và ghi chữ cái đó vào bài làm. Câu 1. Hệ phương trình (x-2y=5 3x+2y=-1 có nghiệm (x3). Giá trị của biểu thức P=x-2y là B.5. D. 1. C. x <2. D. x <...

Câu 1. Để giải hệ phương trình \(x - 2y = 5\) và \(3x + 2y = -1\), ta thực hiện các bước sau: 1. Cộng hai phương trình lại để loại bỏ biến \(y\): \[ (x - 2y) + (3x + 2y) = 5 + (-1) \] \[ x + 3x = 4 \] \[ 4x = 4 \] \[ x = 1 \] 2. Thay giá trị \(x = 1\) vào phương trình \(x - 2y = 5\) để tìm \(y\): \[ 1 - 2y = 5 \] \[ -2y = 5 - 1 \] \[ -2y = 4 \] \[ y = -2 \] 3. Kiểm tra nghiệm \((x, y) = (1, -2)\) vào phương trình \(3x + 2y = -1\): \[ 3(1) + 2(-2) = 3 - 4 = -1 \] Nghiệm này thỏa mãn phương trình. 4. Tính giá trị của biểu thức \(P = x - 2y\): \[ P = 1 - 2(-2) = 1 + 4 = 5 \] Vậy giá trị của biểu thức \(P = x - 2y\) là 5. Đáp án đúng là: B. 5. Câu 2. Để giải bất phương trình \(3 - 2x - 1 < 0\), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn biểu thức: \[ 3 - 2x - 1 < 0 \] Rút gọn các hằng số: \[ 2 - 2x < 0 \] 2. Di chuyển các hạng tử: Di chuyển 2 sang phía bên phải: \[ -2x < -2 \] 3. Chia cả hai vế cho -2: Chú ý rằng khi chia cả hai vế của bất phương trình cho một số âm, dấu bất phương trình sẽ đổi chiều: \[ x > 1 \] Vậy nghiệm của bất phương trình \(3 - 2x - 1 < 0\) là \(x > 1\). Đáp án đúng là: A. \(x > 1\). Câu 3. Để xác định phương trình nào có nghiệm kép, ta cần kiểm tra xem phương trình có dạng ax² + bx + c = 0 có biệt thức (Δ) bằng không hay không. Nếu Δ = 0, phương trình có nghiệm kép. A. Phương trình x² + 6x - 1 = 0 Biệt thức: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40 \] Vì Δ = 40 > 0, phương trình này có hai nghiệm phân biệt. B. Phương trình x² + 6x = 0 Biệt thức: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 36 - 0 = 36 \] Vì Δ = 36 > 0, phương trình này cũng có hai nghiệm phân biệt. Như vậy, cả hai phương trình đều không có nghiệm kép. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. 1. Xác định các yếu tố: - Chiều dài của thang là 4,5m. - Góc giữa thang và tường là 32°. - Chúng ta cần tìm khoảng cách từ chân thang đến chân tường, tức là chiều dài của cạnh kề với góc 32°. 2. Áp dụng công thức tỉ số lượng giác: - Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc 32° là cos(32°) = cạnh kề / hypotenuse. - Ở đây, hypotenuse là chiều dài của thang, tức là 4,5m. 3. Tính toán: - cos(32°) ≈ 0,848. - Vậy cạnh kề (khoảng cách từ chân thang đến chân tường) = 4,5 × cos(32°) ≈ 4,5 × 0,848 ≈ 3,816. 4. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: - 3,816 làm tròn đến hàng phần mười là 3,8. Vậy khoảng cách từ chân thang đến chân tường là 3,8m. Đáp án đúng là: A. 3,8m. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đều và đường tròn ngoại tiếp. 1. Tam giác ABC đều có tất cả các góc bằng nhau, tức là mỗi góc của tam giác đều bằng 60°. 2. Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), nên tâm O của đường tròn cũng là tâm của tam giác đều ABC. 3. Trong tam giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp cũng là giao điểm của các đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác của các góc. Do đó, các đoạn OA, OB và OC là bán kính của đường tròn và chúng tạo thành ba tam giác đều nhỏ hơn: OAB, OBC và OCA. 4. Xét tam giác OBC: - Vì tam giác ABC đều, nên góc BAC = 60°. - Góc BOC là góc ở tâm của đường tròn, và nó chắn cung BC. - Theo tính chất của góc ở tâm và góc nội tiếp, góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn một cung. Do đó, góc BOC = 2 × góc BAC = 2 × 60° = 120°. Vậy số đo của góc BOC là 120°. Đáp án đúng là: A. 120°. Câu 6. Để tính diện tích phần vải rủ xuống mép bàn, chúng ta cần tính diện tích của tấm khăn vải hình tròn và diện tích của mặt bàn hình tròn, sau đó lấy diện tích của tấm khăn vải trừ đi diện tích của mặt bàn. Bước 1: Tính diện tích của tấm khăn vải hình tròn. - Đường kính của tấm khăn vải là 1,8m, nên bán kính của nó là: \[ r_{vải} = \frac{1,8}{2} = 0,9 \text{ m} \] - Diện tích của tấm khăn vải là: \[ S_{vải} = \pi \times r_{vải}^2 = \pi \times (0,9)^2 = \pi \times 0,81 \approx 2,54 \text{ m}^2 \] Bước 2: Tính diện tích của mặt bàn hình tròn. - Đường kính của mặt bàn là 1,4m, nên bán kính của nó là: \[ r_{bàn} = \frac{1,4}{2} = 0,7 \text{ m} \] - Diện tích của mặt bàn là: \[ S_{bàn} = \pi \times r_{bàn}^2 = \pi \times (0,7)^2 = \pi \times 0,49 \approx 1,54 \text{ m}^2 \] Bước 3: Tính diện tích phần vải rủ xuống mép bàn. - Diện tích phần vải rủ xuống mép bàn là: \[ S_{rủ} = S_{vải} - S_{bàn} = 2,54 - 1,54 = 1,00 \text{ m}^2 \] Vậy diện tích phần vải rủ xuống mép bàn là 1,00 m². Đáp án đúng là: B. 0,50 m². Diện tích: 1,01 m². Câu 7. Phép thử "Chọn ngẫu nhiên hai học sinh trong đó có một học sinh ở nhóm thứ nhất và một học sinh ở nhóm thứ hai" có thể được thực hiện theo các bước sau: 1. Chọn một học sinh nam từ nhóm thứ nhất (gồm 3 học sinh nam: Đức, Hoàng, Mạnh). 2. Chọn một học sinh nữ từ nhóm thứ hai (gồm 4 học sinh nữ: Vân, Chi, Minh, Châu). Mỗi học sinh nam có thể kết hợp với mỗi học sinh nữ để tạo thành một cặp. Do đó, số lượng các cặp có thể tạo thành là: 3 học sinh nam x 4 học sinh nữ = 12 cặp Vậy không gian mẫu của phép thử trên có 12 phần tử. Đáp án đúng là: B. 12. Câu 8. Các số tự nhiên từ 1 đến 20 mà chia 7 dư 1 là: 1, 8, 15. Tổng cộng có 3 số thỏa mãn điều kiện trên. Xác suất của biến cố "Số xuất hiện trên viên bị được lấy ra chia 7 dư 1" là: \[ \frac{3}{20} \] Đáp án đúng là: C. $\frac{3}{20}$ Bài 1. a) Tính giá trị biểu thức \( A = \frac{(2025 + \sqrt{2024}) - 2025 - 2}{2\sqrt{2} - 1} \) Đầu tiên, ta thực hiện phép trừ trong tử số: \[ (2025 + \sqrt{2024}) - 2025 - 2 = \sqrt{2024} - 2 \] Vậy biểu thức \( A \) trở thành: \[ A = \frac{\sqrt{2024} - 2}{2\sqrt{2} - 1} \] b) Chứng minh đẳng thức \( (x + \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+2}) = 0 \) Ta thấy rằng: \[ (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+2}) = 0 \] Nhân với bất kỳ biểu thức nào cũng sẽ bằng 0: \[ (x + \sqrt{x+1}) \cdot 0 = 0 \] Vậy đẳng thức đã cho đúng. Đáp số: a) \( A = \frac{\sqrt{2024} - 2}{2\sqrt{2} - 1} \) b) Đẳng thức \( (x + \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+2}) = 0 \) được chứng minh đúng. Bài 2. 2) a) Lập bảng tần số cho mẫu dữ liệu trên: | Loại huy chương | Năm 2020 | Năm 2021 | Năm 2022 | Năm 2023 | Năm 2024 | |-----------------|----------|----------|----------|----------|----------| | Huy chương vàng | 9 | 12 | 13 | 8 | 12 | | Huy chương bạc | 8 | 13 | 12 | 12 | 15 | | Huy chương đồng | 5 | 10 | 8 | 12 | 10 | b) Vẽ biểu đồ hình cột biểu diễn bảng tần số cho mẫu dữ liệu thu được ở câu a): Để vẽ biểu đồ hình cột, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các loại huy chương và các năm tương ứng. 2. Xác định khoảng giá trị cho trục tung và trục hoành. 3. Vẽ các cột tương ứng với số lượng huy chương của mỗi loại trong mỗi năm. Biểu đồ hình cột sẽ có dạng như sau: 15 | | | | | 14 | | | | | 13 | | | | | 12 | | | | | 11 | | | | | 10 | | | | | 9 | | | | | 8 | | | | | 7 | | | | | 6 | | | | | 5 | | | | | 2020 2021 2022 2023 2024 Trong biểu đồ trên, mỗi dấu "" đại diện cho một năm cụ thể và số lượng huy chương tương ứng. Bài 3. a) Vẽ đồ thị hàm số y = -x Đồ thị hàm số y = -x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0, 0) và có góc nghiêng 45° với trục Ox. b) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ x = √2. Thay x = √2 vào phương trình y = -x, ta được: y = -(√2) = -√2 Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ x = √2 là (√2, -√2). c) Biết phương trình x² - 4x - 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁ và x₂. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức B = (x₁ - x₂)² + (-2). Áp dụng công thức Viète cho phương trình bậc hai x² - 4x - 2 = 0, ta có: x₁ + x₂ = 4 x₁ x₂ = -2 Ta cần tính giá trị của biểu thức B = (x₁ - x₂)² + (-2). B = (x₁ - x₂)² + (-2) = (x₁ - x₂)² - 2 Áp dụng hằng đẳng thức (a - b)² = a² - 2ab + b², ta có: (x₁ - x₂)² = x₁² - 2x₁x₂ + x₂² Do đó: B = x₁² - 2x₁x₂ + x₂² - 2 Theo công thức Viète, ta biết: x₁ + x₂ = 4 x₁ x₂ = -2 Ta cũng biết rằng: (x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² Thay x₁ + x₂ = 4 vào, ta có: 4² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² 16 = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² Do đó: x₁² + x₂² = 16 - 2x₁x₂ Thay x₁ x₂ = -2 vào, ta có: x₁² + x₂² = 16 - 2(-2) = 16 + 4 = 20 Vậy: B = x₁² - 2x₁x₂ + x₂² - 2 = 20 - 2(-2) - 2 = 20 + 4 - 2 = 22 Đáp số: B = 22 Bài 4. Gọi số thí sinh nộp 2 tờ giấy thi là x (thí sinh, điều kiện: x ≥ 0 và x ≤ 24). Số thí sinh nộp 3 tờ giấy thi là 24 - x (thí sinh). Tổng số tờ giấy thi thu về là 57 tờ, ta có phương trình: \[ 2x + 3(24 - x) = 57 \] Giải phương trình: \[ 2x + 72 - 3x = 57 \] \[ -x + 72 = 57 \] \[ -x = 57 - 72 \] \[ -x = -15 \] \[ x = 15 \] Vậy số thí sinh nộp 2 tờ giấy thi là 15 thí sinh. Số thí sinh nộp 3 tờ giấy thi là: \[ 24 - 15 = 9 \text{ thí sinh} \] Đáp số: 15 thí sinh nộp 2 tờ giấy thi, 9 thí sinh nộp 3 tờ giấy thi. Bài 5. a) Tính thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc. Thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc chính là thể tích của hình trụ có bán kính đáy bằng 6 cm và chiều cao bằng 1 cm. \[ V_{nước} = \pi r^2 h = \pi \times 6^2 \times 1 = 36\pi \text{ (cm}^3) \] b) Tính bán kính R của viên bị mà bạn Nam đã thả vào cốc. Viên bị thủy tinh hình cầu có thể tích bằng thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc. \[ V_{viên bị} = V_{nước} = 36\pi \text{ (cm}^3) \] Thể tích của một hình cầu được tính theo công thức: \[ V_{viên bị} = \frac{4}{3} \pi R^3 \] Bằng cách đặt thể tích của viên bị bằng thể tích của phần nước đã dâng lên, ta có: \[ \frac{4}{3} \pi R^3 = 36\pi \] Chia cả hai vế cho \(\pi\): \[ \frac{4}{3} R^3 = 36 \] Nhân cả hai vế với \(\frac{3}{4}\): \[ R^3 = 36 \times \frac{3}{4} = 27 \] Lấy căn bậc ba của cả hai vế: \[ R = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ (cm)} \] Đáp số: a) Thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc là \(36\pi \text{ cm}^3\). b) Bán kính của viên bị là 3 cm. Bài 6. a) Ta có MB và MC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OB ⊥ MB và OC ⊥ MC. Do đó, bốn điểm B, O, C, M cùng thuộc một đường tròn (gọi là đường tròn (P)) và OM là đường kính của đường tròn (P). b) Ta có ∠ODH = ∠OBH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OH) và ∠OBH = ∠OMD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OB). Vậy ∠ODH = ∠OMD. Ta có ∠BDC = ∠BAC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) và ∠BAC = ∠MBA (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung BC). Vậy ∠BDC = ∠MBA. Từ đó ta có △BDC ~ △MBA (góc BDC = góc MBA và góc DBC chung). Vậy $\frac{BD}{MB} = \frac{DC}{MA}$ hay BD . DC . MA = MB . MD . DC. Mặt khác, ta có MB = MC (hai tiếp tuyến vẽ từ một điểm ngoài đường tròn bằng nhau) và MB² = AB . CB (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung CB). Vậy MB . MD . DC = AB . CB . MD. Từ đó ta có BD . DC . MA = AB . CB . MD hay DB . DC . MA = AB . AC . MD.