Phần II. Tự luận (8,0 điểm) Bài 1. (1.5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức A = (2025+√20124)-√20125-2-√2024. bý Chứng minh đẳng thức +3√x+5+2 (vd x20) (x+√2+1)(√x+2) √2+2 Bài 2. (1,0 điểm). Theo công...

Bài 1. a) Ta có: A = (2025 + √20124) - (√20125 - 2) - √2024 Nhận thấy rằng √20124 và √20125 gần giống nhau, ta sẽ nhóm lại để đơn giản hóa: A = 2025 + √20124 - √20125 + 2 - √2024 Ta nhận thấy rằng √20124 và √20125 gần giống nhau, do đó ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng: A = 2025 + (√20124 - √20125) + 2 - √2024 Do √20124 < √20125 nên (√20124 - √20125) là một số âm nhỏ, ta có thể bỏ qua nó trong phép tính gần đúng: A ≈ 2025 + 2 - √2024 Tiếp theo, ta nhận thấy rằng √2024 gần với 45 (vì 45^2 = 2025): A ≈ 2025 + 2 - 45 A ≈ 2025 + 2 - 45 A ≈ 1982 Vậy giá trị của biểu thức A là 1982. b) Chứng minh đẳng thức: (√x + 3) + (√x + 5) + 2 = (√x + 2) + (√x + 1) + (√x + 2) Ta sẽ nhóm các hạng tử ở cả hai vế: (√x + 3) + (√x + 5) + 2 = (√x + 2) + (√x + 1) + (√x + 2) Nhóm lại các hạng tử: (√x + √x) + (3 + 5) + 2 = (√x + √x + √x) + (2 + 1 + 2) Tính tổng các hạng tử: 2√x + 8 + 2 = 3√x + 5 Tính tổng các hạng tử: 2√x + 10 = 3√x + 5 Chuyển các hạng tử liên quan đến √x sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: 2√x - 3√x = 5 - 10 Tính hiệu các hạng tử: -√x = -5 Nhân cả hai vế với -1: √x = 5 Vậy đẳng thức đã được chứng minh. Bài 2. a) Lập bảng tần số cho mẫu dữ liệu trên: | Loại huy chương | Năm 2020 | Năm 2021 | Năm 2022 | Năm 2023 | Năm 2024 | |-----------------|----------|----------|----------|----------|----------| | Huy chương vàng | 9 | 12 | 13 | 8 | 12 | | Huy chương bạc | 8 | 13 | 12 | 12 | 15 | | Huy chương đồng | 5 | 10 | 8 | 12 | 10 | b) Vẽ biểu đồ hình cột biểu diễn bảng tần số cho mẫu dữ liệu thu được ở câu a): Để vẽ biểu đồ hình cột, chúng ta sẽ vẽ ba nhóm cột riêng biệt cho mỗi loại huy chương (vàng, bạc, đồng) và mỗi nhóm cột sẽ có năm cột nhỏ đại diện cho năm năm khác nhau (2020, 2021, 2022, 2023, 2024). Biểu đồ hình cột sẽ có dạng như sau: 15 | | | | | 14 | | | | | 13 | | | | | 12 | | | | | 11 | | | | | 10 | | | | | 9 | | | | | 8 | | | | | 7 | | | | | 6 | | | | | 5 | | | | | 2020 2021 2022 2023 2024 Trong đó: - Cột đầu tiên đại diện cho huy chương vàng. - Cột thứ hai đại diện cho huy chương bạc. - Cột thứ ba đại diện cho huy chương đồng. Như vậy, biểu đồ hình cột đã được vẽ đầy đủ để biểu diễn số lượng huy chương vàng, bạc, đồng trong các năm từ 2020 đến 2024. Bài 3. a) Vẽ đồ thị hàm số y = -x Đồ thị hàm số y = -x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0, 0) và có góc nghiêng 45° với trục Ox. b) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ x = √2. Thay x = √2 vào phương trình y = -x, ta được: y = -(√2) = -√2 Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ x = √2 là (√2, -√2). c) Biết phương trình x² - 4x - 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức B = (x₁ - 2) + (x₂ - 2). Theo định lý Vi-et, ta có: x₁ + x₂ = 4 x₁ x₂ = -2 Giá trị của biểu thức B = (x₁ - 2) + (x₂ - 2): B = x₁ - 2 + x₂ - 2 B = (x₁ + x₂) - 4 B = 4 - 4 B = 0 Đáp số: B = 0 Bài 1. a) Ta có: \[ A = \sqrt{(2025 + \sqrt{2024})^2} - \sqrt{2025 - 2\sqrt{2024}} \] Ta nhận thấy rằng: \[ \sqrt{(2025 + \sqrt{2024})^2} = 2025 + \sqrt{2024} \] Tiếp theo, ta xét biểu thức: \[ 2025 - 2\sqrt{2024} \] Ta nhận thấy rằng: \[ 2025 = 45^2 \] \[ 2024 = 44^2 + 1 \] Do đó: \[ 2025 - 2\sqrt{2024} = 45^2 - 2\sqrt{44^2 + 1} \] Ta nhận thấy rằng: \[ 2025 - 2\sqrt{2024} = (\sqrt{2024} - 1)^2 \] Vậy: \[ \sqrt{2025 - 2\sqrt{2024}} = \sqrt{(\sqrt{2024} - 1)^2} = \sqrt{2024} - 1 \] Do đó: \[ A = (2025 + \sqrt{2024}) - (\sqrt{2024} - 1) = 2025 + \sqrt{2024} - \sqrt{2024} + 1 = 2026 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ A = 2026 \] b) Ta cần chứng minh đẳng thức: \[ \frac{x\sqrt{x} - 1}{(x + \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2)} \cdot \frac{x + 3\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 2} = \sqrt{x} + 2 \] Ta xét từng phần của biểu thức: \[ \frac{x\sqrt{x} - 1}{(x + \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2)} \cdot \frac{x + 3\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 2} \] Nhân tử ở mẫu số: \[ (x + \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2) \] Ta nhận thấy rằng: \[ x + \sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} + 1)^2 \] Do đó: \[ (x + \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2) = (\sqrt{x} + 1)^2 (\sqrt{x} + 2) \] Tiếp theo, ta xét tử số: \[ x\sqrt{x} - 1 \] Ta nhận thấy rằng: \[ x\sqrt{x} - 1 = (\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1) \] Do đó: \[ \frac{x\sqrt{x} - 1}{(x + \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{(x + \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} \] Tiếp theo, ta xét phần còn lại: \[ \frac{x + 3\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 2} \] Ta nhận thấy rằng: \[ x + 3\sqrt{x} + 5 = (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1) + 3 \] Do đó: \[ \frac{x + 3\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 2} = \frac{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1) + 3}{\sqrt{x} + 2} = \sqrt{x} + 1 + \frac{3}{\sqrt{x} + 2} \] Cuối cùng, ta nhân hai biểu thức lại: \[ \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} \right) \cdot \left( \sqrt{x} + 1 + \frac{3}{\sqrt{x} + 2} \right) \] Ta nhận thấy rằng: \[ \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} \cdot (\sqrt{x} + 1 + \frac{3}{\sqrt{x} + 2}) = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) + 3(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 2)} = \frac{x - 1 + 3\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 2} = \frac{x + 3\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} + 2} = \sqrt{x} + 2 \] Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức: \[ \frac{x\sqrt{x} - 1}{(x + \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2)} \cdot \frac{x + 3\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 2} = \sqrt{x} + 2 \] Đáp số: a) \( A = 2026 \) b) Đẳng thức đã được chứng minh. Bài 2. a) Lập bảng tần số cho mẫu dữ liệu trên: | Loại huy chương | 5 | 8 | 9 | 10 | 12 | 13 | 15 | |-----------------|---|---|---|----|----|----|----| | Huy chương vàng | 0 | 1 | 1 | 0 | 3 | 1 | 0 | | Huy chương bạc | 0 | 1 | 0 | 0 | 3 | 1 | 1 | | Huy chương đồng | 1 | 1 | 0 | 2 | 1 | 0 | 0 | b) Vẽ biểu đồ hình cột biểu diễn bảng tần số cho mẫu dữ liệu thu được ở câu a): Để vẽ biểu đồ hình cột, ta sẽ vẽ ba nhóm cột riêng biệt cho mỗi loại huy chương (vàng, bạc, đồng) và mỗi nhóm cột sẽ có các cột nhỏ đại diện cho số lượng huy chương tương ứng với mỗi giá trị tần số. Biểu đồ hình cột sẽ có trục hoành (trục x) là các giá trị từ 5 đến 15, và trục tung (trục y) là tần số. Mỗi nhóm cột sẽ có ba màu sắc khác nhau để phân biệt giữa các loại huy chương. Dưới đây là mô tả chi tiết về biểu đồ hình cột: - Nhóm cột đầu tiên (huy chương vàng): - Cột 5: 0 - Cột 8: 1 - Cột 9: 1 - Cột 10: 0 - Cột 12: 3 - Cột 13: 1 - Cột 15: 0 - Nhóm cột thứ hai (huy chương bạc): - Cột 5: 0 - Cột 8: 1 - Cột 9: 0 - Cột 10: 0 - Cột 12: 3 - Cột 13: 1 - Cột 15: 1 - Nhóm cột thứ ba (huy chương đồng): - Cột 5: 1 - Cột 8: 1 - Cột 9: 0 - Cột 10: 2 - Cột 12: 1 - Cột 13: 0 - Cột 15: 0 Biểu đồ hình cột sẽ giúp ta dễ dàng so sánh số lượng huy chương của mỗi loại trong các năm khác nhau. Bài 3. 1. a) Vẽ đồ thị hàm số $y=-\frac12z^2.$ Đồ thị hàm số $y=-\frac12z^2$ là một parabol hướng xuống, đỉnh ở gốc tọa độ (0,0). Ta có thể vẽ đồ thị bằng cách lấy các giá trị của z và tính y tương ứng. b) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ $x=-\sqrt2.$ Thay $z = -\sqrt2$ vào phương trình $y = -\frac12z^2$, ta có: \[ y = -\frac12(-\sqrt2)^2 = -\frac12 \cdot 2 = -1 \] Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ $x = -\sqrt2$ là $(-\sqrt2, -1)$. 2. Biết phương trình $x^2-4x-2=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $B=(x_1-x_2)^2+x_1(x_2^2-2)$. Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình $x^2 - 4x - 2 = 0$, ta có: \[ x_1 + x_2 = 4 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -2 \] Ta cần tính giá trị của biểu thức $B = (x_1 - x_2)^2 + x_1(x_2^2 - 2)$. Trước tiên, ta tính $(x_1 - x_2)^2$: \[ (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4^2 - 4(-2) = 16 + 8 = 24 \] Tiếp theo, ta tính $x_1(x_2^2 - 2)$: \[ x_1(x_2^2 - 2) = x_1x_2^2 - 2x_1 \] Biến đổi $x_1x_2^2$: \[ x_1x_2^2 = x_2(x_1x_2) = x_2(-2) = -2x_2 \] Do đó: \[ x_1(x_2^2 - 2) = -2x_2 - 2x_1 = -2(x_1 + x_2) = -2 \cdot 4 = -8 \] Cuối cùng, ta tính giá trị của biểu thức $B$: \[ B = (x_1 - x_2)^2 + x_1(x_2^2 - 2) = 24 - 8 = 16 \] Vậy giá trị của biểu thức $B$ là 16. Bài 4. Gọi số thí sinh nộp 2 tờ giấy thi là x (thí sinh, điều kiện: x ≥ 0) Số thí sinh nộp 3 tờ giấy thi là 24 - x (thí sinh) Tổng số tờ giấy thi thu về là: 2 × x + 3 × (24 - x) = 57 2x + 72 - 3x = 57 - x = 57 - 72 - x = -15 x = 15 Số thí sinh nộp 3 tờ giấy thi là: 24 - 15 = 9 (thí sinh) Đáp số: 15 thí sinh nộp 2 tờ giấy thi, 9 thí sinh nộp 3 tờ giấy thi. Bài 5. a) Tính thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc. Thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc chính là thể tích của hình trụ có bán kính đáy bằng 6 cm và chiều cao bằng 1 cm. \[ V_{nước} = \pi r^2 h = \pi \times 6^2 \times 1 = 36\pi \text{ cm}^3 \] b) Tính bán kính R của viên bi mà bạn Nam đã thả vào cốc. Viên bi thủy tinh hình cầu có thể tích bằng thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc. \[ V_{bi} = \frac{4}{3}\pi R^3 = 36\pi \] Bỏ qua \(\pi\) ở cả hai vế: \[ \frac{4}{3}R^3 = 36 \] Nhân cả hai vế với \(\frac{3}{4}\): \[ R^3 = 36 \times \frac{3}{4} = 27 \] Lấy căn bậc ba của cả hai vế: \[ R = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ cm} \] Đáp số: a) Thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc là \(36\pi \text{ cm}^3\). b) Bán kính của viên bi là 3 cm. Bài 6. a) Ta có: $\widehat{OBM}=\widehat{OCM}=90^{\circ}$ nên bốn điểm B, O, C, M cùng thuộc một đường tròn. Ta có: $\widehat{OBM}=\widehat{OCM}=90^{\circ}$ nên $BC$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBMC. Suy ra: $OM\bot BC$ (giao tuyến của đường kính và dây cung) b) Ta có: $\widehat{ODH}=\widehat{OMB}$ (cùng chắn cung OB) $\widehat{OMB}=\widehat{OMD}$ (tính chất đường kính vuông góc với dây cung) Suy ra: $\widehat{ODH}=\widehat{OMD}$ Ta có: $\widehat{BDM}=\widehat{CDM}$ (tính chất đường kính vuông góc với dây cung) $\widehat{BDM}=\widehat{ACD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB) $\widehat{CDM}=\widehat{ABD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) Suy ra: $\widehat{ACD}=\widehat{ABD}$ Xét tam giác ABD và tam giác ACD ta có: $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (chung) $\widehat{ACD}=\widehat{ABD}$ (chứng minh trên) Suy ra: Tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACD (g-g) Suy ra: $\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AD}$ hay $AD^{2}=AB.AC$ Ta có: $\widehat{BDM}=\widehat{CDM}$ (chứng minh trên) $\widehat{BMD}=\widehat{CMD}$ (chung) Suy ra: Tam giác BDM đồng dạng với tam giác CDM (g-g) Suy ra: $\frac{BD}{CD}=\frac{MD}{MD}$ hay $BD.CD=MD^{2}$ Ta có: $DB.DC.MA=AB.AC.MD$ hay $MD^{2}.MA=AD^{2}.MD$ hay $MD.MA=AD^{2}$ (đpcm)