Một chiếc cốc hình trụ bằng thủy tinh trong suốt, cao 15 cm, đường kính đáy bằng 8 cm. Trong cốc có chứa nước pha màu xanh. Khi cốc được đặt trên mặt bàn nằm ngang, mực nước cách mép cốc cá cm. a) Tính...

Cutee đáng eo

Bài 6:

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với $(ABC)$. Tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$, diện tích tam giác $ABS = 3a^2$. Một điểm $M$ thuộc cạnh $SA$ sao cho $AM = 2MS$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $(SBC)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Vì tam giác $ABC$ đều nên $AH$ vừa là trung tuyến, vừa là đường cao.

$AH = AB.\sin(60^\circ) = 2a.\frac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$

Diện tích tam giác $ABC$ là $S_{ABC} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.a\sqrt{3}.2a = a^2\sqrt{3}$

Diện tích tam giác $ABS$ là $S_{ABS} = 3a^2$. Mặt khác $S_{ABS} = \frac{1}{2}.SA.AB = \frac{1}{2}.SA.2a = SA.a$

Suy ra $SA.a = 3a^2$ hay $SA = 3a$

Vì $AM = 2MS$ và $AM + MS = AS$ nên $3MS = 3a$ hay $MS = a$

$AM = SA - MS = 3a - a = 2a$

Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$, khi đó $AK \perp SB$

Ta có: $SA \perp BC$ và $AH \perp BC$ nên $BC \perp (SAH)$. Suy ra $BC \perp SH$

Ta có: $SH = \sqrt{SA^2 + AH^2} = \sqrt{(3a)^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{9a^2 + 3a^2} = 2\sqrt{3}a$

$\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{(3a)^2} + \frac{1}{(2a)^2} = \frac{1}{9a^2} + \frac{1}{4a^2} = \frac{13}{36a^2}$

$AK = \frac{6a}{\sqrt{13}}$

Gọi $d(M, (SBC)) = d$. Do $AM = 2MS$ nên $d(M, (SBC)) = \frac{1}{3}d(A, (SBC)) = \frac{1}{3}AK = \frac{1}{3}.\frac{6a}{\sqrt{13}} = \frac{2a\sqrt{13}}{13}$

Vậy $d(M, (SBC)) = \frac{2a\sqrt{13}}{13}$

Bài hình trụ:

a) Thể tích lượng nước màu xanh:

Bán kính đáy $r = 4cm$

Chiều cao cốc $h = 15cm$

Chiều cao cột nước $h' = 15 - 1 = 14cm$

Thể tích lượng nước: $V = \pi r^2 h' = \pi . 4^2 . 14 = 224\pi \approx 703.36 cm^3$

b) Thể tích viên bi bằng thể tích nước dâng lên.

Thể tích nước dâng lên bằng thể tích hình trụ có chiều cao $1cm$, bán kính $4cm$.

$V_{bi} = \pi.4^2.1 = 16\pi cm^3$

Gọi $R$ là bán kính viên bi, ta có:

$\frac{4}{3}\pi R^3 = 16\pi$

$R^3 = 12$

$R = \sqrt[3]{12} \approx 2.29 cm$

Vậy bán kính viên bi khoảng $2.29cm$