Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh AC (M khác A và C). Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng: a) ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn...

a) Ta có $\widehat{AMN} = \widehat{ACN} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \widehat{BMN} = \widehat{BAN} = 90^\circ$ $\Rightarrow$ Tứ giác ABMN nội tiếp đường tròn (1) Ta lại có $\widehat{BIC} = \widehat{BMC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow$ Tứ giác ABCI nội tiếp đường tròn (2) Từ (1) và (2) ta có ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Ta có $\widehat{ANI} = \widehat{ACI}$ (cùng chắn cung AI) $\widehat{ACI} = \widehat{ABN}$ (ABNM nội tiếp) $\widehat{ABN} = \widehat{AMN}$ (ABCI nội tiếp) $\Rightarrow \widehat{ANI} = \widehat{AMN}$ $\Rightarrow MN$ là tia phân giác của góc ANI. Ta có $BM.BI = BA^2$ (BA là đường cao hạ từ đỉnh B của tam giác vuông BMN) $CM.CA = CN^2$ (CA là đường cao hạ từ đỉnh C của tam giác vuông CMN) $\Rightarrow BM.BI + CM.CA = BA^2 + CN^2 = AB^2 + AC^2$ (CN là đường cao hạ từ đỉnh C của tam giác vuông ACN)