cxzgjkhxdsshjhf

Câu 18: Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2, -1)$ và $\overrightarrow{b} = (-1, 3)$, ta thực hiện theo công thức sau: Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2)$ và $\overrightarrow{b} = (b_1, b_2)$ được tính bằng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \] Áp dụng công thức này vào bài toán: - Ta có $a_1 = 2$, $a_2 = -1$, $b_1 = -1$, $b_2 = 3$. Do đó: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 \] \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -2 + (-3) \] \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -2 - 3 \] \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -5 \] Vậy tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là -5. Đáp án đúng là: A. -5. Câu 19: Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho dưới dạng phương trình tham số: \[ d: \left\{\begin{array}{l} x = 1 + 4t \\ y = -2 + 3t \end{array}\right. \] Ta nhận thấy rằng trong phương trình tham số này, \(t\) là tham số. Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ có dạng \(\overrightarrow{u} = (a, b)\), trong đó \(a\) và \(b\) là các hệ số của \(t\) tương ứng trong phương trình của \(x\) và \(y\). Từ phương trình tham số: \[ x = 1 + 4t \] \[ y = -2 + 3t \] Ta thấy rằng: - Hệ số của \(t\) trong phương trình của \(x\) là 4. - Hệ số của \(t\) trong phương trình của \(y\) là 3. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \overrightarrow{u} = (4, 3) \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\overrightarrow{u} = (4, 3) \] Câu 20: Phương trình đường tròn tâm $I(a, b)$ và bán kính $R$ có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Trong bài này, tâm đường tròn là $I(1, -2)$ và bán kính là 3. Do đó, ta thay $a = 1$, $b = -2$, và $R = 3$ vào phương trình chuẩn của đường tròn: \[ (x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 3^2 \] Simplifying the equation, we get: \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 \] Vậy phương trình đường tròn là: \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 \] Đáp án đúng là: A. $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$ Đáp số: A. $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$ Câu 21: Để xác định tâm và bán kính của đường tròn $(C):~(x+1)^2+(y-2)^2=9$, ta thực hiện các bước sau: 1. Nhận dạng phương trình đường tròn: Phương trình đường tròn có dạng chuẩn là $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, trong đó $(a, b)$ là tọa độ tâm và $R$ là bán kính. 2. So sánh với phương trình đã cho: Phương trình $(C):~(x+1)^2+(y-2)^2=9$ có thể viết lại thành $(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 3^2$. 3. Xác định tâm và bán kính: - Tọa độ tâm của đường tròn là $(-1, 2)$. - Bán kính của đường tròn là $3$. Do đó, tâm của đường tròn là $I(-1, 2)$ và bán kính là $R = 3$. Vậy đáp án đúng là: A. Tâm $I(-1;2),$ bán kính $R=3.$ Câu 22: Để tìm tiêu điểm của elip $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của elip: - Elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a^2 = 16$ và $b^2 = 9$. - Do đó, $a = 4$ và $b = 3$. 2. Xác định tiêu cự của elip: - Tiêu cự của elip được tính bằng công thức $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. - Thay các giá trị đã biết vào công thức: $c = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$. 3. Xác định tọa độ tiêu điểm: - Elip có hai tiêu điểm nằm trên trục lớn, cách tâm elip một khoảng $c$. - Tọa độ tiêu điểm là $(\pm c, 0)$. - Do đó, tọa độ tiêu điểm là $(\pm \sqrt{7}, 0)$. Vậy tiêu điểm của elip là $(\sqrt{7}, 0)$ và $(-\sqrt{7}, 0)$. Trong các đáp án đã cho, tiêu điểm đúng là: C. $(\sqrt{7}, 0)$. Câu 23: Để khai triển biểu thức $(x-2y)^4$, ta sử dụng công thức nhị thức Newton: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \(a = x\), \(b = -2y\) và \(n = 4\). Ta có: \[ (x - 2y)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} (-2y)^k \] Ta sẽ tính từng hạng tử trong tổng này: 1. Khi \(k = 0\): \[ \binom{4}{0} x^{4-0} (-2y)^0 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 = x^4 \] 2. Khi \(k = 1\): \[ \binom{4}{1} x^{4-1} (-2y)^1 = 4 \cdot x^3 \cdot (-2y) = -8x^3y \] 3. Khi \(k = 2\): \[ \binom{4}{2} x^{4-2} (-2y)^2 = 6 \cdot x^2 \cdot (4y^2) = 24x^2y^2 \] 4. Khi \(k = 3\): \[ \binom{4}{3} x^{4-3} (-2y)^3 = 4 \cdot x \cdot (-8y^3) = -32xy^3 \] 5. Khi \(k = 4\): \[ \binom{4}{4} x^{4-4} (-2y)^4 = 1 \cdot 1 \cdot (16y^4) = 16y^4 \] Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có: \[ (x - 2y)^4 = x^4 - 8x^3y + 24x^2y^2 - 32xy^3 + 16y^4 \] Hệ số của \(x^2y^2\) là 24. Vậy đáp án đúng là B. 24. Câu 24: Để xác định mệnh đề đúng về công thức tính số các hoán vị chập k của n phần tử, ta cần hiểu rõ khái niệm và công thức của số hoán vị. Số hoán vị chập k của n phần tử, ký hiệu là \( A^k_n \), là số cách sắp xếp k phần tử trong n phần tử theo thứ tự nhất định. Công thức tính số hoán vị chập k của n phần tử là: \[ A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \] Trong đó: - \( n! \) là giai thừa của n, tức là tích của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến n. - \( (n-k)! \) là giai thừa của (n-k). Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. \( A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \) - Đây chính là công thức chuẩn xác để tính số hoán vị chập k của n phần tử. B. \( A^k_n = \frac{n!}{k!} \) - Đây không phải là công thức chuẩn xác vì nó không phản ánh đúng cách tính số hoán vị chập k của n phần tử. C. \( A^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) - Đây là công thức tính tổ hợp chập k của n phần tử, không phải là công thức tính số hoán vị chập k của n phần tử. D. \( A^k_n = \frac{(n-k)!}{k!} \) - Đây không phải là công thức chuẩn xác vì nó không phản ánh đúng cách tính số hoán vị chập k của n phần tử. Vậy, mệnh đề đúng là: \[ \boxed{A.~A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}} \] Câu 25. Để sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc, chúng ta cần tính số cách sắp xếp các học sinh này theo thứ tự từ trái sang phải hoặc từ phải sang trái. Mỗi vị trí trong hàng dọc có thể được lấp bởi bất kỳ một trong 5 học sinh còn lại. - Vị trí đầu tiên có thể chọn bất kỳ 1 trong 5 học sinh. - Vị trí thứ hai có thể chọn bất kỳ 1 trong 4 học sinh còn lại. - Vị trí thứ ba có thể chọn bất kỳ 1 trong 3 học sinh còn lại. - Vị trí thứ tư có thể chọn bất kỳ 1 trong 2 học sinh còn lại. - Vị trí cuối cùng chỉ còn lại 1 học sinh. Do đó, tổng số cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là: \[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! \] Vậy đáp án đúng là: B. 5! Đáp số: B. 5! Câu 26. Để giải bài toán này, chúng ta cần tính số cách xếp 8 học sinh thành một hàng dọc. Đây là một bài toán về hoán vị, tức là sắp xếp các phần tử theo thứ tự nhất định. Bước 1: Xác định số học sinh cần xếp. - Có 8 học sinh. Bước 2: Áp dụng công thức tính số hoán vị. - Số cách xếp n phần tử là n! (n nhân giai thừa). Bước 3: Tính 8! - 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 Bước 4: Thực hiện phép nhân. - 8 × 7 = 56 - 56 × 6 = 336 - 336 × 5 = 1680 - 1680 × 4 = 6720 - 6720 × 3 = 20160 - 20160 × 2 = 40320 - 40320 × 1 = 40320 Vậy, số cách xếp 8 học sinh thành một hàng dọc là 40320. Đáp án đúng là: C. 40320. Câu 27. Để chọn một học sinh từ một nhóm gồm 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ, ta có thể thực hiện như sau: - Số cách chọn một học sinh nam là 6 cách. - Số cách chọn một học sinh nữ là 9 cách. Vậy tổng số cách chọn một học sinh từ nhóm này là: \[ 6 + 9 = 15 \] Do đó, có 15 cách chọn một học sinh từ nhóm gồm 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ. Đáp án đúng là: C. 15. Câu 28. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định xem đây là bài toán về tổ hợp hay sắp xếp. Cụ thể, chúng ta cần biết rằng khi chọn 2 học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh, thứ tự của hai học sinh không quan trọng. Do đó, đây là bài toán về tổ hợp. Ta sẽ sử dụng công thức tính tổ hợp \( C^n_k \) để giải bài toán này. Công thức tính tổ hợp \( C^n_k \) là: \[ C^n_k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Trong bài toán này, \( n = 10 \) và \( k = 2 \). Ta thay vào công thức: \[ C^{10}_2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} \] Chúng ta có thể giản ước phân số này: \[ C^{10}_2 = \frac{10 \times 9 \times 8!}{2 \times 1 \times 8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = \frac{90}{2} = 45 \] Vậy có 45 cách chọn 2 học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh. Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~C^2_{10}. \] Câu 29. Để giải bài toán này, chúng ta cần tính số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh. Đây là một bài toán về tổ hợp, cụ thể là chọn 2 học sinh từ 6 học sinh mà không quan tâm đến thứ tự. Công thức tính số tổ hợp chập k từ n phần tử là: \[ C^n_k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Trong bài toán này, chúng ta cần tính \( C^6_2 \): \[ C^6_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15 \] Vậy số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là 15, tương ứng với đáp án \( B.~C^2_6 \). Đáp án đúng là: \( B.~C^2_6 \). Câu 30. Để xác định công thức đúng cho số tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta cần hiểu rõ về các loại sắp xếp và tổ hợp. - Số hoán vị chập k của n phần tử (được ký hiệu là \( A^k_n \)) là số cách sắp xếp k phần tử từ n phần tử mà thứ tự quan trọng. Công thức cho số hoán vị chập k của n phần tử là: \[ A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \] - Số tổ hợp chập k của n phần tử (được ký hiệu là \( C^k_n \)) là số cách chọn k phần tử từ n phần tử mà thứ tự không quan trọng. Công thức cho số tổ hợp chập k của n phần tử là: \[ C^k_n = \frac{n!}{(n-k)!.k!} \] Do đó, trong các lựa chọn đã cho, công thức đúng cho số tổ hợp chập k của n phần tử là: \[ D.~C^k_n=\frac{n!}{(n-k)!.k!} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~C^k_n=\frac{n!}{(n-k)!.k!}} \] Câu 31. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề đúng. Mệnh đề A: \( A^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) - Đây là công thức tính tổ hợp chập k từ n phần tử, không phải là công thức tính hoán vị chập k từ n phần tử. Do đó, mệnh đề này sai. Mệnh đề B: \( A^k_n = \frac{n!}{k!} \) - Đây là công thức tính số cách chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự, nhưng không phải là công thức tính hoán vị chập k từ n phần tử. Do đó, mệnh đề này sai. Mệnh đề C: \( A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \) - Đây là công thức tính hoán vị chập k từ n phần tử. Khi ta chọn k phần tử từ n phần tử và sắp xếp chúng theo thứ tự, ta có \( n \times (n-1) \times ... \times (n-k+1) \), tương đương với \( \frac{n!}{(n-k)!} \). Do đó, mệnh đề này đúng. Mệnh đề D: \( A^k_n = \frac{k!(n-k)!}{n!} \) - Đây là công thức tính tổ hợp chập k từ n phần tử, không phải là công thức tính hoán vị chập k từ n phần tử. Do đó, mệnh đề này sai. Vậy, mệnh đề đúng là: C. \( A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \) Đáp án: C. \( A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \) Câu 32. Để tính số các chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử, ta sử dụng công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử, được viết là \( ^nH_k \). Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: \[ ^nH_k = \frac{n!}{(n-k)!} \] Trong bài này, \( n = 7 \) và \( k = 5 \). Ta thay vào công thức: \[ ^7H_5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} \] Bây giờ, ta tính giai thừa của 7 và 2: \[ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \] \[ 2! = 2 \times 1 = 2 \] Thay vào công thức: \[ ^7H_5 = \frac{5040}{2} = 2520 \] Vậy số các chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử là 2520. Đáp án đúng là: B. 2520. Câu 33. Để tìm số tập con gồm 3 phần tử của tập hợp \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), ta cần sử dụng công thức tổ hợp. Số tập con gồm 3 phần tử của tập hợp \( A \) được tính bằng công thức tổ hợp \( C^3_6 \). Công thức tổ hợp \( C^n_k \) được tính như sau: \[ C^n_k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Trong trường hợp này, \( n = 6 \) và \( k = 3 \): \[ C^3_6 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \] Vậy số tập con gồm 3 phần tử của tập hợp \( A \) là 20. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~C^3_6 \] Câu 34. Trong khai triển nhị thức Newton của $(2x - 3)^4$, ta sẽ áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton. Công thức khai triển nhị thức Newton cho $(a + b)^n$ là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, ta có $a = 2x$, $b = -3$, và $n = 4$. Do đó, khai triển của $(2x - 3)^4$ sẽ có dạng: \[ (2x - 3)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (2x)^{4-k} (-3)^k \] Số hạng trong khai triển này sẽ là: \[ \binom{4}{0} (2x)^4 (-3)^0, \quad \binom{4}{1} (2x)^3 (-3)^1, \quad \binom{4}{2} (2x)^2 (-3)^2, \quad \binom{4}{3} (2x)^1 (-3)^3, \quad \binom{4}{4} (2x)^0 (-3)^4 \] Như vậy, khai triển của $(2x - 3)^4$ sẽ có 5 số hạng. Đáp án đúng là: C. 5.