Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D đối xứng với B qua H. Đường thẳng AD cắt đường tròn đường kính AC tại E. Chứng minh rằng: AB^2/HD = AC^2/HC

Trước tiên, ta nhận thấy rằng tam giác ABC vuông tại A, do đó ta có các tính chất sau: - Tam giác ABC có đường cao AH hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. - Điểm D là điểm đối xứng của B qua H trên đoạn thẳng HC. Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng $$. 1. Tính chất của tam giác vuông và đường cao: - Trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH tạo ra các tam giác nhỏ hơn là tam giác AHB và tam giác AHC. - Ta có các tỷ lệ từ tính chất tam giác vuông: $$ 2. Tính chất của điểm đối xứng: - Vì D là điểm đối xứng của B qua H, nên HD = HB. 3. Tính chất của đường tròn đường kính AC: - Điểm E nằm trên đường tròn đường kính AC, do đó góc AEC là góc vuông (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 4. Áp dụng tính chất tam giác đồng dạng: - Xét tam giác ABD và tam giác ACH: - Tam giác ABD và tam giác ACH có chung góc A và góc ABD = góc ACH (vì D đối xứng với B qua H). - Do đó, tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACH theo tỉ lệ: $$ - Từ đây, ta có: $$ Vậy ta đã chứng minh được $$.