Câu 10. Một lớp học có 26 bạn nam và 20 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Tính xác suất để bạn được chọn là nam. Câu 11. Một lớp học có 22 bạn nam và 20 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn trong lớ...

Câu 10. Tổng số bạn trong lớp là: \[ 26 + 20 = 46 \text{ bạn} \] Số bạn nam trong lớp là 26 bạn. Xác suất để bạn được chọn là nam là: \[ P(\text{nam}) = \frac{\text{số bạn nam}}{\text{tổng số bạn trong lớp}} = \frac{26}{46} = \frac{13}{23} \] Đáp số: $\frac{13}{23}$ Câu 11. Để tính xác suất để chọn được ít nhất 1 bạn nam từ một lớp học có 22 bạn nam và 20 bạn nữ khi chọn ngẫu nhiên 3 bạn trong lớp, ta làm như sau: Bước 1: Tính tổng số cách chọn 3 bạn từ 42 bạn (22 nam + 20 nữ). Số cách chọn 3 bạn từ 42 bạn là: \[ C_{42}^3 = \frac{42!}{3!(42-3)!} = \frac{42 \times 41 \times 40}{3 \times 2 \times 1} = 11480 \] Bước 2: Tính số cách chọn 3 bạn đều là nữ từ 20 bạn nữ. Số cách chọn 3 bạn nữ từ 20 bạn nữ là: \[ C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140 \] Bước 3: Tính xác suất để chọn được 3 bạn đều là nữ. Xác suất để chọn được 3 bạn đều là nữ là: \[ P(\text{3 bạn nữ}) = \frac{C_{20}^3}{C_{42}^3} = \frac{1140}{11480} = \frac{57}{574} \] Bước 4: Tính xác suất để chọn được ít nhất 1 bạn nam. Xác suất để chọn được ít nhất 1 bạn nam là: \[ P(\text{ít nhất 1 bạn nam}) = 1 - P(\text{3 bạn nữ}) = 1 - \frac{57}{574} = \frac{517}{574} \] Vậy xác suất để chọn được ít nhất 1 bạn nam là: \[ \frac{517}{574} \] Câu 12. Để tính xác suất lấy ra được 2 viên bị vàng từ trong hộp, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách lấy ra 2 viên bị từ hộp: - Tổng số viên bị trong hộp là: 4 (đỏ) + 4 (xanh) + 2 (vàng) = 10 viên bị. - Số cách chọn 2 viên bị từ 10 viên bị là: \[ C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] 2. Tìm số cách lấy ra 2 viên bị vàng: - Số viên bị vàng trong hộp là 2 viên bị. - Số cách chọn 2 viên bị vàng từ 2 viên bị vàng là: \[ C_{2}^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2 \times 1}{2 \times 1} = 1 \] 3. Tính xác suất lấy ra được 2 viên bị vàng: - Xác suất lấy ra được 2 viên bị vàng là: \[ P(\text{2 viên bị vàng}) = \frac{\text{Số cách lấy ra 2 viên bị vàng}}{\text{Tổng số cách lấy ra 2 viên bị}} = \frac{1}{45} \] Vậy xác suất để lấy ra được 2 viên bị vàng là $\frac{1}{45}$. Câu 1: Phương trình đường tròn tâm \( I(-3; 4) \) có bán kính \( R = 2 \) được viết dưới dạng: \[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 2^2 \] Bước 1: Xác định tọa độ tâm và bán kính. - Tâm \( I(-3; 4) \) - Bán kính \( R = 2 \) Bước 2: Viết phương trình đường tròn theo công thức chuẩn. Phương trình đường tròn tâm \( (a; b) \) và bán kính \( R \) là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] Áp dụng vào bài toán: \[ (x - (-3))^2 + (y - 4)^2 = 2^2 \] \[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 4 \] Vậy phương trình đường tròn là: \[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 4 \] Câu 2: Phương trình đường tròn có tâm \( I(a; b) \) và bán kính \( R \) là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] Trong bài này, tâm \( I(1; 2) \) và bán kính \( R = 5 \). Thay các giá trị này vào phương trình đường tròn, ta có: \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25 \] Vậy phương trình đường tròn là: \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25 \] Câu 3: a) Phương trình đường tròn có tâm I(-2; -5) và có bán kính là R = 8 Phương trình đường tròn có tâm \(I(a, b)\) và bán kính \(R\) là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] Thay \(a = -2\), \(b = -5\), và \(R = 8\) vào phương trình trên, ta được: \[ (x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 64 \] b) Phương trình đường tròn có tâm (-1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta: x + 2y + 5 = 0\) Để viết phương trình đường tròn, ta cần biết bán kính \(R\). Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\), khoảng cách từ tâm đến đường thẳng sẽ bằng bán kính \(R\). Khoảng cách từ điểm \(I(-1, 3)\) đến đường thẳng \(\Delta: x + 2y + 5 = 0\) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong đó, \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\), \(x_0 = -1\), và \(y_0 = 3\). Thay vào, ta có: \[ d = \frac{|1(-1) + 2(3) + 5|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-1 + 6 + 5|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|10|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \] Vậy bán kính \(R = 2\sqrt{5}\). Phương trình đường tròn là: \[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20 \] c) Phương trình đường tròn có tâm I(-3; 2) và đi qua điểm A(-4; 1) Bán kính \(R\) của đường tròn là khoảng cách từ tâm \(I(-3, 2)\) đến điểm \(A(-4, 1)\). Ta tính khoảng cách này bằng công thức: \[ R = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Trong đó, \(x_1 = -3\), \(y_1 = 2\), \(x_2 = -4\), và \(y_2 = 1\). Thay vào, ta có: \[ R = \sqrt{((-4) - (-3))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-4 + 3)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] Phương trình đường tròn là: \[ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \] Tóm lại, các phương trình đường tròn lần lượt là: a) \((x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 64\) b) \((x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 20\) c) \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 2\) Câu 4: a) Mô tả không gian mẫu. Khi gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất, mỗi mặt của xúc xắc có thể xuất hiện với xác suất bằng nhau. Các mặt của xúc xắc có số chấm lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5, 6. Do đó, không gian mẫu S bao gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra khi gieo xúc xắc: \[ S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \] b) Gọi M là biến cố: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số chẵn". Xác định số phần tử của M. Biến cố M bao gồm các kết quả mà số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chẵn. Các số chẵn trong không gian mẫu S là 2, 4 và 6. Do đó, tập hợp M là: \[ M = \{2, 4, 6\} \] Số phần tử của M là: \[ |M| = 3 \] Đáp số: a) Không gian mẫu: \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) b) Số phần tử của M: \( |M| = 3 \) Câu 5: Khi gieo một đồng xu cân đối liên tiếp ba lần, mỗi lần gieo có hai kết quả có thể xảy ra: mặt sấp (S) hoặc mặt ngửa (N). Do đó, không gian mẫu sẽ bao gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra từ ba lần gieo này. Ta sẽ liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra: - Kết quả đầu tiên có thể là S hoặc N. - Kết quả thứ hai có thể là S hoặc N. - Kết quả thứ ba có thể là S hoặc N. Vì vậy, tổng số kết quả có thể xảy ra là \(2 \times 2 \times 2 = 8\). Không gian mẫu sẽ là: \[ \Omega = \{SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN\} \] Như vậy, không gian mẫu của phép thử gieo một đồng xu cân đối liên tiếp ba lần là: \[ \Omega = \{SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN\} \] Câu 6: Để xác định hệ số của \( x^3 \) trong khai triển biểu thức \( (x + 1)^4 \), ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức nhị thức Newton cho khai triển \( (a + b)^n \) là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \( a = x \), \( b = 1 \), và \( n = 4 \). Ta cần tìm hệ số của \( x^3 \). Theo công thức nhị thức Newton, hệ số của \( x^3 \) sẽ là: \[ \binom{4}{1} x^{4-1} 1^1 = \binom{4}{1} x^3 \] Ta tính \( \binom{4}{1} \): \[ \binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = \frac{4 \times 3!}{1 \times 3!} = 4 \] Vậy hệ số của \( x^3 \) trong khai triển biểu thức \( (x + 1)^4 \) là 4. Đáp số: 4 Câu 7: Để xác định hệ số của \( x^2 \) trong khai triển biểu thức \( (3x - 2)^4 \), ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức nhị thức Newton cho khai triển \( (a + b)^n \) là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \( a = 3x \), \( b = -2 \), và \( n = 4 \). Ta cần tìm hệ số của \( x^2 \), tức là \( k \) sao cho \( (3x)^{4-k} (-2)^k \) có \( x^2 \). Điều này yêu cầu: \[ 4 - k = 2 \] \[ k = 2 \] Bây giờ, ta tính hệ số của \( x^2 \): \[ \binom{4}{2} (3x)^{4-2} (-2)^2 \] \[ = \binom{4}{2} (3x)^2 (-2)^2 \] \[ = \binom{4}{2} \cdot 9x^2 \cdot 4 \] \[ = 6 \cdot 9x^2 \cdot 4 \] \[ = 216x^2 \] Vậy hệ số của \( x^2 \) trong khai triển biểu thức \( (3x - 2)^4 \) là 216. Câu 8: Tổng số viên bi trong hộp là: \[ 4 + 4 + 2 = 10 \text{ viên} \] Số cách chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ 10 viên bi là: \[ C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] a) Xác suất để lấy ra 2 viên bi vàng: Số cách chọn 2 viên bi vàng từ 2 viên bi vàng là: \[ C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = 1 \] Xác suất là: \[ P(\text{2 viên vàng}) = \frac{1}{45} \] b) Xác suất để lấy ra có đúng 1 viên bi vàng: Số cách chọn 1 viên bi vàng từ 2 viên bi vàng và 1 viên bi khác từ 8 viên bi còn lại là: \[ C_2^1 \times C_8^1 = 2 \times 8 = 16 \] Xác suất là: \[ P(\text{1 viên vàng}) = \frac{16}{45} \] c) Xác suất để lấy ra ít nhất 1 viên bi vàng: Số cách chọn 2 viên bi không có viên bi vàng nào là: \[ C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \] Xác suất để lấy ra ít nhất 1 viên bi vàng là: \[ P(\text{ít nhất 1 viên vàng}) = 1 - P(\text{không có viên vàng}) = 1 - \frac{28}{45} = \frac{17}{45} \] d) Xác suất để lấy ra 2 viên bi cùng màu: Số cách chọn 2 viên bi đỏ từ 4 viên bi đỏ là: \[ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] Số cách chọn 2 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh là: \[ C_4^2 = 6 \] Số cách chọn 2 viên bi vàng từ 2 viên bi vàng là: \[ C_2^2 = 1 \] Tổng số cách chọn 2 viên bi cùng màu là: \[ 6 + 6 + 1 = 13 \] Xác suất là: \[ P(\text{2 viên cùng màu}) = \frac{13}{45} \] e) Xác suất để lấy ra 2 viên bi có đủ 2 màu: Số cách chọn 2 viên bi có đủ 2 màu là: \[ 45 - 13 = 32 \] Xác suất là: \[ P(\text{2 viên đủ 2 màu}) = \frac{32}{45} \] Đáp số: a) $\frac{1}{45}$ b) $\frac{16}{45}$ c) $\frac{17}{45}$ d) $\frac{13}{45}$ e) $\frac{32}{45}$ Câu 9: Để giải bài toán xác suất này, ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh: Số cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh là: \[ C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \] a) Xác suất để chọn được 3 bạn cùng giới Số cách chọn 3 học sinh nam từ 7 học sinh nam: \[ C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \] Số cách chọn 3 học sinh nữ từ 3 học sinh nữ: \[ C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = 1 \] Tổng số cách chọn 3 bạn cùng giới: \[ 35 + 1 = 36 \] Xác suất để chọn được 3 bạn cùng giới: \[ P(\text{3 bạn cùng giới}) = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} \] b) Xác suất để chọn được đúng 1 nữ Số cách chọn 1 học sinh nữ từ 3 học sinh nữ: \[ C_3^1 = 3 \] Số cách chọn 2 học sinh nam từ 7 học sinh nam: \[ C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \] Tổng số cách chọn đúng 1 nữ: \[ 3 \times 21 = 63 \] Xác suất để chọn được đúng 1 nữ: \[ P(\text{đúng 1 nữ}) = \frac{63}{120} = \frac{21}{40} \] c) Xác suất để chọn được cả nam và nữ nhưng số nam nhiều hơn số nữ Số cách chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ: \[ C_7^2 \times C_3^1 = 21 \times 3 = 63 \] Số cách chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ: \[ C_7^1 \times C_3^2 = 7 \times 3 = 21 \] Tổng số cách chọn cả nam và nữ nhưng số nam nhiều hơn số nữ: \[ 63 - 21 = 42 \] Xác suất để chọn được cả nam và nữ nhưng số nam nhiều hơn số nữ: \[ P(\text{cả nam và nữ, số nam nhiều hơn số nữ}) = \frac{42}{120} = \frac{7}{20} \] d) Xác suất để chọn được cả nam và nữ Số cách chọn cả nam và nữ: \[ 120 - 36 = 84 \] Xác suất để chọn được cả nam và nữ: \[ P(\text{cả nam và nữ}) = \frac{84}{120} = \frac{7}{10} \] Đáp số: a) $\frac{3}{10}$ b) $\frac{21}{40}$ c) $\frac{7}{20}$ d) $\frac{7}{10}$