Câu 1 (1 điểm). Biết đồ thị hàm số , đi qua điểm và có đỉnh . Tính giá trị biểu thức . Câu 2 (1 điểm). Trên một khu đất hình vuông có diện tích 100m2, một chiếc cọc cách hai cạnh của mảnh đất lần lượt...

Câu 1 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của đồ thị hàm số: - Biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm $(x_1, y_1)$ và có đỉnh tại $(h, k)$. - Phương trình của một parabol có đỉnh $(h, k)$ là $y = a(x - h)^2 + k$. 2. Thay tọa độ đỉnh vào phương trình: - Thay $(h, k)$ vào phương trình $y = a(x - h)^2 + k$, ta có $y = a(x - h)^2 + k$. 3. Thay tọa độ điểm $(x_1, y_1)$ vào phương trình: - Thay $(x_1, y_1)$ vào phương trình $y = a(x - h)^2 + k$, ta có $y_1 = a(x_1 - h)^2 + k$. - Giải phương trình này để tìm giá trị của $a$. 4. Tìm giá trị biểu thức: - Sau khi tìm được giá trị của $a$, ta có thể tính giá trị biểu thức cần thiết. Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các bước này vào bài toán cụ thể. Giả sử đồ thị hàm số đi qua điểm $(x_1, y_1)$ và có đỉnh tại $(h, k)$. Phương trình của đồ thị hàm số là: \[ y = a(x - h)^2 + k \] Thay tọa độ đỉnh $(h, k)$ vào phương trình: \[ y = a(x - h)^2 + k \] Thay tọa độ điểm $(x_1, y_1)$ vào phương trình: \[ y_1 = a(x_1 - h)^2 + k \] Giải phương trình này để tìm giá trị của $a$: \[ y_1 - k = a(x_1 - h)^2 \] \[ a = \frac{y_1 - k}{(x_1 - h)^2} \] Sau khi tìm được giá trị của $a$, ta có thể tính giá trị biểu thức cần thiết. Ví dụ cụ thể: Giả sử đồ thị hàm số đi qua điểm $(2, 5)$ và có đỉnh tại $(1, 3)$. Phương trình của đồ thị hàm số là: \[ y = a(x - 1)^2 + 3 \] Thay tọa độ điểm $(2, 5)$ vào phương trình: \[ 5 = a(2 - 1)^2 + 3 \] \[ 5 = a(1)^2 + 3 \] \[ 5 = a + 3 \] \[ a = 2 \] Vậy phương trình của đồ thị hàm số là: \[ y = 2(x - 1)^2 + 3 \] Giá trị biểu thức cần tính là $a + h + k$: \[ a + h + k = 2 + 1 + 3 = 6 \] Đáp số: 6 Câu 2 Để tính diện tích lớn nhất của khu đất hình tam giác vuông có thể rào được, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số cơ bản: - Diện tích khu đất hình vuông là 100m², do đó mỗi cạnh của khu đất hình vuông là $\sqrt{100} = 10$ m. - Chiếc cọc cách hai cạnh của mảnh đất lần lượt là 1m và 2m. 2. Xác định tọa độ của chiếc cọc: - Giả sử chiếc cọc nằm ở điểm $(x, y)$ trên mặt phẳng tọa độ, với gốc tọa độ ở một góc của khu đất hình vuông. - Theo đề bài, chiếc cọc cách hai cạnh của mảnh đất lần lượt là 1m và 2m, nên tọa độ của chiếc cọc là $(1, 2)$. 3. Xác định các cạnh của tam giác vuông: - Hai cạnh góc vuông của tam giác nằm trên cạnh của khu đất ban đầu, tức là chúng song song với các cạnh của khu đất hình vuông. - Cạnh còn lại của tam giác đi qua chiếc cọc $(1, 2)$. 4. Tìm diện tích lớn nhất của tam giác: - Diện tích của tam giác vuông được tính bằng công thức: $S = \frac{1}{2} \times a \times b$, trong đó $a$ và $b$ là hai cạnh góc vuông. - Để diện tích lớn nhất, ta cần tối đa hóa tích của hai cạnh góc vuông. 5. Áp dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất: - Gọi hai cạnh góc vuông của tam giác là $a$ và $b$. Ta có: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] - Để tối đa hóa diện tích, ta cần tối đa hóa tích $a \times b$. - Do chiếc cọc nằm ở $(1, 2)$, ta có thể coi $a$ là khoảng cách từ chiếc cọc đến một cạnh và $b$ là khoảng cách từ chiếc cọc đến cạnh còn lại. 6. Tính diện tích lớn nhất: - Khi chiếc cọc nằm ở $(1, 2)$, ta có thể coi $a = 1$ và $b = 2$ hoặc ngược lại. - Diện tích lớn nhất của tam giác là: \[ S_{\text{max}} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1 \text{ m}^2 \] Vậy diện tích lớn nhất của khu đất hình tam giác vuông có thể rào được là 1 m². Câu 3 Để tính xác suất để hai người thắng trò chơi, chúng ta cần xác định tổng số cách chọn hai điểm và số cách chọn hai điểm sao cho chúng tạo thành một hình vuông. Giả sử bảng vuông có kích thước \( n \times n \). Số điểm đỉnh của các ô vuông đơn vị là \( (n+1)^2 \). Tổng số cách chọn hai điểm từ \( (n+1)^2 \) điểm là: \[ \binom{(n+1)^2}{2} = \frac{(n+1)^2((n+1)^2 - 1)}{2} \] Bây giờ, chúng ta cần xác định số cách chọn hai điểm sao cho chúng tạo thành một hình vuông. Một hình vuông được xác định bởi hai điểm đối xứng qua tâm của nó. Ta sẽ tính số cách chọn hai điểm tạo thành một hình vuông. Số cách chọn hai điểm tạo thành một hình vuông có cạnh \( k \) (với \( k \) từ 1 đến \( n \)) là: \[ (n-k+1)^2 \] Vì mỗi hình vuông có cạnh \( k \) có 2 điểm đối xứng qua tâm, nên số cách chọn hai điểm tạo thành một hình vuông có cạnh \( k \) là: \[ 2(n-k+1)^2 \] Tổng số cách chọn hai điểm tạo thành một hình vuông là: \[ \sum_{k=1}^{n} 2(n-k+1)^2 = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} \] Xác suất để hai người thắng trò chơi là: \[ P = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}}{\frac{(n+1)^2((n+1)^2 - 1)}{2}} = \frac{2n(2n+1)}{3(n+1)((n+1)^2 - 1)} \] Để tính cụ thể, giả sử \( n = 4 \): \[ P = \frac{2 \cdot 4 \cdot 9}{3 \cdot 5 \cdot 24} = \frac{72}{360} = \frac{1}{5} = 0.2000 \] Vậy xác suất để hai người thắng trò chơi là: \[ \boxed{0.2000} \]