giúp mình giải với ạ

BÀI 16. Góc trong không gian là góc giữa hai tia chung đỉnh trong không gian. Để hiểu rõ hơn về góc trong không gian, chúng ta sẽ đi qua các bước sau: 1. Định nghĩa: - Góc trong không gian là góc giữa hai tia chung đỉnh trong không gian. 2. Phương pháp xác định góc trong không gian: - Để xác định góc giữa hai tia chung đỉnh trong không gian, ta thực hiện các bước sau: - Chọn một điểm trên mỗi tia sao cho hai điểm này cùng nằm trên một mặt phẳng với đỉnh của hai tia. - Xác định góc giữa hai đoạn thẳng từ đỉnh của hai tia đến hai điểm đã chọn. Góc này chính là góc giữa hai tia ban đầu. 3. Ví dụ minh họa: - Giả sử ta có hai tia OA và OB chung đỉnh O trong không gian. - Chọn điểm A trên tia OA và điểm B trên tia OB sao cho cả ba điểm O, A, B cùng nằm trên một mặt phẳng. - Góc giữa hai tia OA và OB chính là góc AOB. 4. Lưu ý: - Góc trong không gian có thể là góc nhọn, vuông hoặc tù tùy thuộc vào vị trí của hai tia. - Nếu hai tia thẳng hàng thì góc giữa chúng là 0° hoặc 180°. 5. Áp dụng: - Ta có thể sử dụng góc trong không gian để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến hình học không gian, như xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, v.v. Qua các bước trên, chúng ta đã hiểu rõ hơn về góc trong không gian và cách xác định góc giữa hai tia chung đỉnh trong không gian. Câu 1. Để tìm góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai véc-tơ chỉ phương của chúng. Công thức: \[ \cos \theta = \left| \frac{\overrightarrow{u}_{d_1} \cdot \overrightarrow{u}_{d_2}}{|\overrightarrow{u}_{d_1}| |\overrightarrow{u}_{d_2}|} \right| \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng \(\overrightarrow{u}_{d_1} \cdot \overrightarrow{u}_{d_2}\): \[ \overrightarrow{u}_{d_1} \cdot \overrightarrow{u}_{d_2} = (1)(-4) + (-2)(1) + (-3)(5) = -4 - 2 - 15 = -21 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của hai véc-tơ: \[ |\overrightarrow{u}_{d_1}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \] \[ |\overrightarrow{u}_{d_2}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 1 + 25} = \sqrt{42} \] Bây giờ, ta thay vào công thức để tính \(\cos \theta\): \[ \cos \theta = \left| \frac{-21}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{42}} \right| = \left| \frac{-21}{\sqrt{588}} \right| = \left| \frac{-21}{2\sqrt{147}} \right| = \left| \frac{-21}{2 \cdot 7\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{-21}{14\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{-3}{2\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{-3\sqrt{3}}{6} \right| = \left| \frac{-\sqrt{3}}{2} \right| = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó: \[ \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Ta biết rằng: \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Vậy góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là \(30^\circ\). Đáp án đúng là: \(A.~30^\circ\). Câu 2. Để tính $\cos\alpha$, ta cần biết góc giữa đường thẳng d và trục Ox. Ta có thể sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ để làm điều này. Trước tiên, ta xác định vectơ chỉ phương của trục Ox, đó là $\overrightarrow{i} = (1, 0, 0)$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u} = (2, 2, 1)$. Công thức tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ \cos \alpha = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{i}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{i}|} \] Tính tích vô hướng $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{i}$: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{i} = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 2 \] Tính độ dài của $\overrightarrow{u}$: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] Tính độ dài của $\overrightarrow{i}$: \[ |\overrightarrow{i}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \] Thay vào công thức: \[ \cos \alpha = \frac{2}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\frac{2}{3} \] Câu 3. Để tìm góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta cần tìm góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng: - Mặt phẳng $(P):~2x-y-z-3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1 = (2, -1, -1)$. - Mặt phẳng $(Q):~x-z-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2 = (1, 0, -1)$. 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến: \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) = 2 + 0 + 1 = 3 \] 3. Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến: \[ |\vec{n}_1| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \] 4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 5. Tìm góc $\theta$: \[ \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = 30^\circ \] Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là $30^\circ$. Đáp án đúng là: \[ A.~30^0 \] Câu 4. Để tính cosin góc tạo bởi đường thẳng (d) và mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng (d): Đường thẳng (d) có phương trình tham số là $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-1}{2}$. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) là $\vec{u} = (2, -1, 2)$. 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình $2x - y - z - 5 = 0$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (2, -1, -1)$. 3. Tính cosin góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P): Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P). Ta biết rằng cosin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là sin của góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Ta có: \[ \sin(\theta) = \left| \cos(\alpha) \right| \] trong đó $\alpha$ là góc giữa vectơ $\vec{u}$ và vectơ $\vec{n}$. Ta tính $\cos(\alpha)$ bằng công thức: \[ \cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|} \] Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{n}$: \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) = 4 + 1 - 2 = 3 \] Tính độ dài của vectơ $\vec{u}$: \[ |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Tính độ dài của vectơ $\vec{n}$: \[ |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] Vậy: \[ \cos(\alpha) = \frac{3}{3 \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \] Do đó: \[ \sin(\theta) = \left| \cos(\alpha) \right| = \frac{1}{\sqrt{6}} \] Ta biết rằng: \[ \cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{\sqrt{6}} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6} \] Vậy cosin góc tạo bởi đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) là $\frac{\sqrt{30}}{6}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{\sqrt{30}}{6}$. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình của đường thẳng \(d\) và điểm \(A\): - Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = t + 2 \\ y = 2t + 2 \\ z = 2t + 2 \end{cases} \] - Điểm \(A(1, -1, 1)\). 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): - Mặt phẳng \((P)\) có phương trình: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 1\) - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là \(\vec{n} = (1, 2, 2)\). 3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): - Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (1, 2, 2)\). 4. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\): - Các đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) và cách đường thẳng \(d\) một khoảng bằng 1. - Gọi vectơ chỉ phương của \(d_1\) là \(\vec{v}_1 = (a, b, c)\) và của \(d_2\) là \(\vec{v}_2 = (a', b', c')\). 5. Tìm khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d\): - Khoảng cách từ điểm \(A(1, -1, 1)\) đến đường thẳng \(d\) là 1. - Ta có công thức khoảng cách từ điểm \(M(x_0, y_0, z_0)\) đến đường thẳng \(d\) là: \[ d = \frac{|(x_0 - x_1)\vec{u}_y - (y_0 - y_1)\vec{u}_x + (z_0 - z_1)\vec{u}_z|}{|\vec{u}|} \] - Thay vào ta có: \[ 1 = \frac{|(1 - 2) \cdot 2 - (-1 - 2) \cdot 1 + (1 - 2) \cdot 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|-2 + 3 - 2|}{3} = \frac{1}{3} \] 6. Tìm góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\): - Gọi góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là \(\theta\). - Ta có: \[ \cos \theta = \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1| |\vec{v}_2|} \] - Vì \(d_1\) và \(d_2\) cách đường thẳng \(d\) một khoảng bằng 1 nên góc giữa chúng là \(60^\circ\). 7. Tính \(\sin \theta\): - \(\sin \theta = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Vậy đáp án đúng là: \[ C. \frac{\sqrt{3}}{2} \] Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện để đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng (P): - Mặt phẳng (P) có phương trình: \(2x - y + 2z - 1 = 0\). - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow{n_P} = (2, -1, 2)\). - Đường thẳng \(\Delta\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (m, n, 1)\). Điều kiện để đường thẳng \(\Delta\) song song với mặt phẳng (P) là: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n_P} = 0 \] Thay vào ta có: \[ m \cdot 2 + n \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 0 \implies 2m - n + 2 = 0 \implies n = 2m + 2 \] 2. Tìm góc giữa đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng (Q): - Mặt phẳng (Q) có phương trình: \(4x - 4y + 3z - 2 = 0\). - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow{n_Q} = (4, -4, 3)\). Góc giữa đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng (Q) là góc giữa vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\) và vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_Q}\). Ta có: \[ \sin \theta = \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n_Q}|}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{n_Q}|} \] Thay \(\overrightarrow{u} = (m, 2m + 2, 1)\) và \(\overrightarrow{n_Q} = (4, -4, 3)\): \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n_Q} = m \cdot 4 + (2m + 2) \cdot (-4) + 1 \cdot 3 = 4m - 8m - 8 + 3 = -4m - 5 \] Độ dài của \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{n_Q}\): \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{m^2 + (2m + 2)^2 + 1^2} = \sqrt{m^2 + 4m^2 + 8m + 4 + 1} = \sqrt{5m^2 + 8m + 5} \] \[ |\overrightarrow{n_Q}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 16 + 9} = \sqrt{41} \] Vậy: \[ \sin \theta = \frac{|-4m - 5|}{\sqrt{5m^2 + 8m + 5} \cdot \sqrt{41}} \] 3. Tìm giá trị của \(m\) để \(\sin \theta\) lớn nhất: Để \(\sin \theta\) lớn nhất, ta cần tối đa hóa \(\frac{|-4m - 5|}{\sqrt{5m^2 + 8m + 5}}\). Xét hàm số \(f(m) = \frac{|-4m - 5|}{\sqrt{5m^2 + 8m + 5}}\). Ta thấy rằng khi \(m = -1\), ta có: \[ |-4(-1) - 5| = |4 - 5| = 1 \] \[ \sqrt{5(-1)^2 + 8(-1) + 5} = \sqrt{5 - 8 + 5} = \sqrt{2} \] Do đó: \[ \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{41}} = \frac{1}{\sqrt{82}} = \frac{\sqrt{82}}{82} = \frac{\sqrt{41}}{41} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C. \frac{\sqrt{41}}{41} \] Câu 7. Để tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian, ta cần tìm góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng $(P):~2x - 3y - 4 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1 = (2, -3, 0)$. 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy): Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$, do đó vectơ pháp tuyến của nó là $\vec{n}_2 = (0, 0, 1)$. 3. Tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến: Gọi $\theta$ là góc giữa hai vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$. Ta có: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} \] Tính tích vô hướng: \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (2, -3, 0) \cdot (0, 0, 1) = 2 \cdot 0 + (-3) \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 \] Tính độ dài của các vectơ: \[ |\vec{n}_1| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] \[ |\vec{n}_2| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \] Do đó: \[ \cos \theta = \frac{0}{\sqrt{13} \cdot 1} = 0 \] 4. Xác định góc $\theta$: \[ \cos \theta = 0 \implies \theta = 90^\circ \] Vậy góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Oxy)$ là $90^\circ$. Đáp án đúng là: $B.~90^0.$