Giải giúp tuii vớiii

Câu 10: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$. Gọi góc giữa hai đường thẳng này là $\alpha$. Bước 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng. - Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ giữa chúng. Bước 2: Lập luận về giá trị của $\alpha$. - Nếu góc giữa hai đường thẳng là x độ, thì giá trị của $\alpha$ cũng sẽ là x độ. Bước 3: Làm tròn giá trị của $\alpha$ đến hàng đơn vị. - Giả sử x = 45.6 độ, làm tròn đến hàng đơn vị sẽ là 46 độ. Vậy, giá trị của $\alpha$ là 46 độ (nếu x = 45.6 độ). Đáp số: $\alpha = 46$ độ (nếu x = 45.6 độ). Câu 19: Để tìm phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với $A(-1;2;-1)$ và $B(1;1;-2)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm mặt cầu (I): Tâm mặt cầu (I) là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta tính tọa độ của I như sau: \[ I\left(\frac{-1 + 1}{2}; \frac{2 + 1}{2}; \frac{-1 - 2}{2}\right) = I\left(0; \frac{3}{2}; -\frac{3}{2}\right) \] 2. Tính bán kính R của mặt cầu: Bán kính R là khoảng cách từ tâm I đến một trong hai điểm A hoặc B. Ta tính khoảng cách IA: \[ R = IA = \sqrt{(0 - (-1))^2 + \left(\frac{3}{2} - 2\right)^2 + \left(-\frac{3}{2} - (-1)\right)^2} \] \[ R = \sqrt{(1)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \] \[ R = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \] \[ R = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \] 3. Viết phương trình mặt cầu: Mặt cầu có tâm I và bán kính R có phương trình: \[ (x - 0)^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 + \left(z + \frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 \] \[ x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 + \left(z + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{6}{4} \] \[ x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 + \left(z + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{2} \] 4. Tính \(a + b + c + R^2\): Từ phương trình mặt cầu, ta thấy: \[ a = 0, \quad b = \frac{3}{2}, \quad c = -\frac{3}{2}, \quad R^2 = \frac{3}{2} \] \[ a + b + c + R^2 = 0 + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \] Vậy, \(a + b + c + R^2 = \frac{3}{2}\). Đáp số: \(\frac{3}{2}\). Câu 20: Để tìm phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng $(\alpha): 2x + y - z + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\alpha = (2, 1, -1)$. - Mặt phẳng $(\beta): x + y + z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\beta = (1, 1, 1)$. 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là vectơ pháp tuyến của cả hai mặt phẳng, tức là $\vec{u} = \vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\beta$. Ta tính tích vector: \[ \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) - \vec{j}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \] \[ = \vec{i}(1 + 1) - \vec{j}(2 + 1) + \vec{k}(2 - 1) = 2\vec{i} - 3\vec{j} + \vec{k} \] Vậy $\vec{u} = (2, -3, 1)$. 3. Tìm điểm thuộc đường thẳng $\Delta$: Để tìm điểm thuộc đường thẳng $\Delta$, ta chọn giá trị của $z = 0$ và thay vào phương trình của hai mặt phẳng để tìm $x$ và $y$. - Từ $(\alpha): 2x + y - 0 + 3 = 0 \Rightarrow 2x + y = -3$. - Từ $(\beta): x + y + 0 - 1 = 0 \Rightarrow x + y = 1$. Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x + y = -3 \\ x + y = 1 \end{cases} \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (2x + y) - (x + y) = -3 - 1 \Rightarrow x = -4 \] Thay $x = -4$ vào $x + y = 1$: \[ -4 + y = 1 \Rightarrow y = 5 \] Vậy điểm $A(-4, 5, 0)$ thuộc đường thẳng $\Delta$. 4. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(-4, 5, 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2, -3, 1)$. Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \Delta: \frac{x + 4}{2} = \frac{y - 5}{-3} = \frac{z}{1} \] 5. Tính $T = (a + b + c + 3d) \cdot 2024$: So sánh với phương trình chính tắc $\Delta: \frac{x + a}{c} = \frac{y - b}{d} = \frac{z}{1}$, ta có: \[ a = 4, \quad b = 5, \quad c = 2, \quad d = -3 \] Vậy: \[ T = (4 + 5 + 2 + 3 \cdot (-3)) \cdot 2024 = (4 + 5 + 2 - 9) \cdot 2024 = 2 \cdot 2024 = 4048 \] Đáp số: $T = 4048$. Câu 21: Để giải quyết bài toán xác suất, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc xác suất tổng hợp và quy tắc xác suất điều kiện. Bước 1: Xác định các biến và xác suất ban đầu - Tổng số viên bi: 80 viên - Số viên bi màu đỏ: 50 viên - Số viên bi màu vàng: 30 viên - Phần trăm viên bi màu đỏ có đánh số: 60% - Phần trăm viên bi màu vàng có đánh số: 50% Bước 2: Tính số lượng viên bi có đánh số - Số viên bi màu đỏ có đánh số: \[ 50 \times 0.60 = 30 \text{ viên} \] - Số viên bi màu vàng có đánh số: \[ 30 \times 0.50 = 15 \text{ viên} \] Bước 3: Tính tổng số viên bi có đánh số \[ 30 + 15 = 45 \text{ viên} \] Bước 4: Tính xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là: \[ P(\text{đánh số}) = \frac{\text{số viên bi có đánh số}}{\text{tổng số viên bi}} = \frac{45}{80} = 0.5625 \] Kết luận Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là: \[ 0.5625 \approx 0.56 \text{ (làm tròn đến hàng phần trăm)} \] Đáp số: 0.56