Giúp mình với!

Câu 2. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên thông tin đã cho về elip (E). Mệnh đề a) Tiêu cự của elip bằng $2\sqrt3$. Tiêu cự của elip là khoảng cách giữa hai tiêu điểm. Biết rằng một tiêu điểm là $F_1(-\sqrt3, 0)$, ta cần biết tọa độ của tiêu điểm thứ hai $F_2$. Trong elip, tiêu cự $2c$ được tính từ khoảng cách giữa hai tiêu điểm. Do đó, nếu tiêu cự là $2\sqrt3$, thì khoảng cách giữa hai tiêu điểm là $2\sqrt3$. Điều này có nghĩa là tiêu điểm thứ hai $F_2$ sẽ nằm ở $(\sqrt3, 0)$. Vậy mệnh đề a) là Đúng. Mệnh đề b) Điểm $N(-1, \frac{\sqrt3}{2})$ thuộc elip. Để kiểm tra xem điểm $N(-1, \frac{\sqrt3}{2})$ có thuộc elip hay không, ta cần biết phương trình chính tắc của elip. Chúng ta sẽ kiểm tra điều này sau khi xác định phương trình chính tắc của elip. Mệnh đề c) Độ dài $MF_1 = \frac{2 - \sqrt3}{2}$. Độ dài từ điểm $M(1, \frac{\sqrt3}{2})$ đến tiêu điểm $F_1(-\sqrt3, 0)$ được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm: \[ MF_1 = \sqrt{(1 + \sqrt3)^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2} - 0\right)^2} \] \[ = \sqrt{(1 + \sqrt3)^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2} \] \[ = \sqrt{(1 + \sqrt3)^2 + \frac{3}{4}} \] \[ = \sqrt{1 + 2\sqrt3 + 3 + \frac{3}{4}} \] \[ = \sqrt{4 + 2\sqrt3 + \frac{3}{4}} \] \[ = \sqrt{\frac{16}{4} + \frac{8\sqrt3}{4} + \frac{3}{4}} \] \[ = \sqrt{\frac{19 + 8\sqrt3}{4}} \] Do đó, độ dài $MF_1$ không bằng $\frac{2 - \sqrt3}{2}$. Vậy mệnh đề c) là Sai. Mệnh đề d) Phương trình chính tắc của Elip (E) là $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$. Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a > b$. Ta biết rằng tiêu cự $2c = 2\sqrt3$, do đó $c = \sqrt3$. Ta cũng biết rằng elip đi qua điểm $M(1, \frac{\sqrt3}{2})$. Thay tọa độ của điểm $M$ vào phương trình elip: \[ \frac{1^2}{a^2} + \frac{\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}{b^2} = 1 \] \[ \frac{1}{a^2} + \frac{3}{4b^2} = 1 \] Biết rằng $c^2 = a^2 - b^2$, ta có: \[ (\sqrt3)^2 = a^2 - b^2 \] \[ 3 = a^2 - b^2 \] Giải hệ phương trình: \[ \frac{1}{a^2} + \frac{3}{4b^2} = 1 \] \[ 3 = a^2 - b^2 \] Thử nghiệm các giá trị, ta thấy rằng $a^2 = 4$ và $b^2 = 1$ thỏa mãn cả hai phương trình. Do đó, phương trình chính tắc của elip là: \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1 \] Vậy mệnh đề d) là Đúng. Kiểm tra lại điểm $N(-1, \frac{\sqrt3}{2})$ thuộc elip Thay tọa độ của điểm $N$ vào phương trình elip: \[ \frac{(-1)^2}{4} + \frac{\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}{1} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \] Điểm $N$ thỏa mãn phương trình elip, vậy mệnh đề b) là Đúng. Kết luận - Mệnh đề a) Đúng. - Mệnh đề b) Đúng. - Mệnh đề c) Sai. - Mệnh đề d) Đúng. Câu 3: a) Có thể lập được 16 số có 2 chữ số từ các chữ số ở tập A. - Ta có 4 lựa chọn cho chữ số hàng chục (1, 2, 3, hoặc 4). - Ta cũng có 4 lựa chọn cho chữ số hàng đơn vị (1, 2, 3, hoặc 4). Do đó, tổng số các số có 2 chữ số có thể lập được là: \[ 4 \times 4 = 16 \] Vậy mệnh đề này là đúng. b) Có thể lập được 16 số có 2 chữ số khác nhau từ các chữ số ở tập A. - Ta đã biết rằng có thể lập được 16 số có 2 chữ số từ các chữ số ở tập A. - Tuy nhiên, trong số này có các số trùng lặp như 11, 22, 33, 44. Do đó, không phải tất cả 16 số đều khác nhau. Vậy mệnh đề này là sai. c) Có thể lập được 8 số chẵn có 2 chữ số khác nhau từ các chữ số ở tập A. - Một số có 2 chữ số là số chẵn nếu chữ số hàng đơn vị là số chẵn (2 hoặc 4). - Ta có 4 lựa chọn cho chữ số hàng chục (1, 2, 3, hoặc 4). - Ta có 2 lựa chọn cho chữ số hàng đơn vị (2 hoặc 4). Do đó, tổng số các số chẵn có 2 chữ số khác nhau là: \[ 4 \times 2 = 8 \] Vậy mệnh đề này là đúng. d) Có thể lập được 8 số lẻ có 2 chữ số từ các chữ số ở tập A. - Một số có 2 chữ số là số lẻ nếu chữ số hàng đơn vị là số lẻ (1 hoặc 3). - Ta có 4 lựa chọn cho chữ số hàng chục (1, 2, 3, hoặc 4). - Ta có 2 lựa chọn cho chữ số hàng đơn vị (1 hoặc 3). Do đó, tổng số các số lẻ có 2 chữ số là: \[ 4 \times 2 = 8 \] Vậy mệnh đề này là đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton để mở rộng biểu thức $(1 - \frac{1}{2}x)^5$. Công thức nhị thức Newton cho phép ta mở rộng $(a + b)^n$ dưới dạng tổng các hạng tử, mỗi hạng tử có dạng $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$, trong đó $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức. Áp dụng công thức này cho $(1 - \frac{1}{2}x)^5$, ta có: \[ (1 - \frac{1}{2}x)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (1)^{5-k} \left(-\frac{1}{2}x\right)^k \] Ta sẽ tính từng hệ số $a_k$ tương ứng với mỗi $k$ từ 0 đến 5: 1. Tính $a_0$: \[ a_0 = \binom{5}{0} (1)^5 \left(-\frac{1}{2}x\right)^0 = 1 \] 2. Tính $a_1$: \[ a_1 = \binom{5}{1} (1)^4 \left(-\frac{1}{2}x\right)^1 = 5 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{2} \] 3. Tính $a_2$: \[ a_2 = \binom{5}{2} (1)^3 \left(-\frac{1}{2}x\right)^2 = 10 \cdot 1 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \] 4. Tính $a_3$: \[ a_3 = \binom{5}{3} (1)^2 \left(-\frac{1}{2}x\right)^3 = 10 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4} \] 5. Tính $a_4$: \[ a_4 = \binom{5}{4} (1)^1 \left(-\frac{1}{2}x\right)^4 = 5 \cdot 1 \cdot \left(\frac{1}{16}\right) = \frac{5}{16} \] 6. Tính $a_5$: \[ a_5 = \binom{5}{5} (1)^0 \left(-\frac{1}{2}x\right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{32}\right) = -\frac{1}{32} \] Bây giờ, chúng ta kiểm tra các lựa chọn đã cho: - a) $a_3 = \frac{5}{2}$: Sai, vì $a_3 = -\frac{5}{4}$. - b) $a_5 = -\frac{1}{32}$: Đúng. - c) Hệ số lớn nhất trong tất cả hệ số là $\frac{5}{2}$: Đúng, vì hệ số lớn nhất là $\frac{5}{2}$ (ở $a_2$). - d) Tổng $a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = \frac{1}{16}$: Ta tính tổng: \[ a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 1 - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4} + \frac{5}{16} - \frac{1}{32} \] \[ = 1 - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4} + \frac{5}{16} - \frac{1}{32} \] \[ = 1 - \frac{40}{32} + \frac{40}{32} - \frac{40}{32} + \frac{10}{32} - \frac{1}{32} \] \[ = 1 - \frac{31}{32} = \frac{1}{32} \] Sai, vì tổng thực tế là $\frac{1}{32}$. Vậy đáp án đúng là: - b) $a_5 = -\frac{1}{32}$ - c) Hệ số lớn nhất trong tất cả hệ số là $\frac{5}{2}$ Câu 5: Để giải quyết các khẳng định trong bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên các tính toán xác suất. a) Không gian mẫu của phép thử là: 1140 Không gian mẫu của phép thử là số cách chọn 3 quả cầu từ tổng cộng 20 quả cầu (15 quả trắng + 5 quả đen). Ta sử dụng công thức tổ hợp để tính: \[ C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140 \] Vậy khẳng định a) là đúng. b) Xác suất để chọn được 2 quả cầu trắng là: $\frac{7}{76}$ Số cách chọn 2 quả cầu trắng từ 15 quả cầu trắng: \[ C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105 \] Số cách chọn 1 quả cầu đen từ 5 quả cầu đen: \[ C_{5}^1 = 5 \] Số cách chọn 2 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen: \[ 105 \times 5 = 525 \] Xác suất để chọn được 2 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen: \[ P = \frac{525}{1140} = \frac{35}{76} \] Vậy khẳng định b) là sai vì xác suất đúng là $\frac{35}{76}$. c) Xác suất để chọn được ít nhất một quả cầu đen là: $\frac{137}{228}$ Xác suất để chọn được ít nhất một quả cầu đen bằng cách tính xác suất bù (không chọn được quả cầu đen nào) rồi trừ đi từ 1. Số cách chọn 3 quả cầu trắng từ 15 quả cầu trắng: \[ C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455 \] Xác suất để chọn 3 quả cầu trắng: \[ P(\text{3 quả trắng}) = \frac{455}{1140} \] Xác suất để chọn ít nhất một quả cầu đen: \[ P(\text{ít nhất 1 quả đen}) = 1 - P(\text{3 quả trắng}) = 1 - \frac{455}{1140} = \frac{685}{1140} = \frac{137}{228} \] Vậy khẳng định c) là đúng. d) Xác suất để chọn được 3 quả cầu thuộc hai loại khác nhau là: $\frac{35}{76}$ Để chọn được 3 quả cầu thuộc hai loại khác nhau, ta có thể chọn 2 quả trắng và 1 quả đen hoặc 1 quả trắng và 2 quả đen. Số cách chọn 2 quả trắng và 1 quả đen đã tính ở phần b): \[ 525 \] Số cách chọn 1 quả trắng và 2 quả đen: \[ C_{15}^1 \times C_{5}^2 = 15 \times 10 = 150 \] Tổng số cách chọn 3 quả cầu thuộc hai loại khác nhau: \[ 525 + 150 = 675 \] Xác suất để chọn được 3 quả cầu thuộc hai loại khác nhau: \[ P = \frac{675}{1140} = \frac{45}{76} \] Vậy khẳng định d) là sai vì xác suất đúng là $\frac{45}{76}$. Kết luận: - Khẳng định a) là đúng. - Khẳng định b) là sai. - Khẳng định c) là đúng. - Khẳng định d) là sai. Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu. a) Số phần tử không gian mẫu Không gian mẫu là tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. - Chữ số đầu tiên (chữ số hàng trăm nghìn) có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ 0 (vì số đó phải là số có năm chữ số). Do đó, có 9 lựa chọn cho chữ số đầu tiên. - Chữ số thứ hai có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ chữ số đã chọn ở vị trí đầu tiên. Do đó, có 9 lựa chọn cho chữ số thứ hai. - Chữ số thứ ba có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ hai chữ số đã chọn ở hai vị trí trước đó. Do đó, có 8 lựa chọn cho chữ số thứ ba. - Chữ số thứ tư có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ ba chữ số đã chọn ở ba vị trí trước đó. Do đó, có 7 lựa chọn cho chữ số thứ tư. - Chữ số thứ năm có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ bốn chữ số đã chọn ở bốn vị trí trước đó. Do đó, có 6 lựa chọn cho chữ số thứ năm. Số phần tử không gian mẫu là: \[ 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 27216 \] b) Xác suất để lấy được số lẻ Một số lẻ có chữ số cuối cùng là 1, 3, 5, 7 hoặc 9. Ta sẽ tính số các số lẻ trong không gian mẫu. - Chữ số cuối cùng có 5 lựa chọn (1, 3, 5, 7, 9). - Chữ số đầu tiên có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ 0 và chữ số cuối cùng. Do đó, có 8 lựa chọn cho chữ số đầu tiên. - Chữ số thứ hai có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ hai chữ số đã chọn ở hai vị trí trước đó. Do đó, có 8 lựa chọn cho chữ số thứ hai. - Chữ số thứ ba có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ ba chữ số đã chọn ở ba vị trí trước đó. Do đó, có 7 lựa chọn cho chữ số thứ ba. - Chữ số thứ tư có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ bốn chữ số đã chọn ở bốn vị trí trước đó. Do đó, có 6 lựa chọn cho chữ số thứ tư. Số các số lẻ là: \[ 5 \times 8 \times 8 \times 7 \times 6 = 13440 \] Xác suất để lấy được số lẻ là: \[ \frac{13440}{27216} = \frac{40}{71} \] c) Xác suất để lấy được số đó chia hết cho 10 Một số chia hết cho 10 có chữ số cuối cùng là 0. Ta sẽ tính số các số chia hết cho 10 trong không gian mẫu. - Chữ số cuối cùng là 0. - Chữ số đầu tiên có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ 0. Do đó, có 9 lựa chọn cho chữ số đầu tiên. - Chữ số thứ hai có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ hai chữ số đã chọn ở hai vị trí trước đó. Do đó, có 8 lựa chọn cho chữ số thứ hai. - Chữ số thứ ba có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ ba chữ số đã chọn ở ba vị trí trước đó. Do đó, có 7 lựa chọn cho chữ số thứ ba. - Chữ số thứ tư có thể là bất kỳ chữ số nào ngoại trừ bốn chữ số đã chọn ở bốn vị trí trước đó. Do đó, có 6 lựa chọn cho chữ số thứ tư. Số các số chia hết cho 10 là: \[ 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024 \] Xác suất để lấy được số đó chia hết cho 10 là: \[ \frac{3024}{27216} = \frac{1}{9} \] Đáp số a) Số phần tử không gian mẫu là: 27216. b) Xác suất để lấy được số lẻ là: $\frac{40}{71}$. c) Xác suất để lấy được số đó chia hết cho 10 là: $\frac{1}{9}$.