Giải giúp mình chi tiết

Câu 21. Để xác định đường hypebol nào có tiêu điểm có thể nằm trên đường tròn \(x^2 + y^2 = \sqrt{36 - m^2}\), ta cần kiểm tra điều kiện về khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của mỗi đường hypebol. Đường tròn \(x^2 + y^2 = \sqrt{36 - m^2}\) có bán kính là \(\sqrt{\sqrt{36 - m^2}}\). Do đó, khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hypebol phải nhỏ hơn hoặc bằng bán kính này. Ta sẽ kiểm tra từng đáp án: Đáp án A: \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1\) - Đây là đường hypebol có dạng \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), với \(a^2 = 25\) và \(b^2 = 16\). - Khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm \(c\) là: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \] - Ta cần kiểm tra \(\sqrt{41} \leq \sqrt{\sqrt{36 - m^2}}\). Đáp án B: \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{4} = 1\) - Đây là đường hypebol có dạng \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), với \(a^2 = 25\) và \(b^2 = 4\). - Khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm \(c\) là: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \] - Ta cần kiểm tra \(\sqrt{29} \leq \sqrt{\sqrt{36 - m^2}}\). Đáp án C: \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{49} = 1\) - Đây là đường hypebol có dạng \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), với \(a^2 = 25\) và \(b^2 = 49\). - Khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm \(c\) là: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \] - Ta cần kiểm tra \(\sqrt{74} \leq \sqrt{\sqrt{36 - m^2}}\). Đáp án D: \(\frac{x^2}{m^2 + 15} - \frac{y^2}{n^2 + 26} = 1\) - Đây là đường hypebol có dạng \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), với \(a^2 = m^2 + 15\) và \(b^2 = n^2 + 26\). - Khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm \(c\) là: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(m^2 + 15) + (n^2 + 26)} = \sqrt{m^2 + n^2 + 41} \] - Ta cần kiểm tra \(\sqrt{m^2 + n^2 + 41} \leq \sqrt{\sqrt{36 - m^2}}\). Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án B thỏa mãn điều kiện \(\sqrt{29} \leq \sqrt{\sqrt{36 - m^2}}\). Vậy đáp án đúng là: Đáp án B: \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{4} = 1\) Câu 22. Để tìm đường kính nhỏ nhất của đường tròn tiếp xúc với cả hai nhánh của hypebol \((H): \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn: Gọi tâm của đường tròn là \(O(a, 0)\) và bán kính là \(r\). Đường tròn tiếp xúc với cả hai nhánh của hypebol nên tâm của đường tròn nằm trên trục hoành và đối xứng qua gốc tọa độ. 2. Phương trình đường tròn: Đường tròn có tâm \(O(a, 0)\) và bán kính \(r\) có phương trình: \[ (x - a)^2 + y^2 = r^2 \] 3. Tiếp xúc với hypebol: Để đường tròn tiếp xúc với hypebol, ta thay \(y^2\) từ phương trình đường tròn vào phương trình hypebol: \[ \frac{x^2}{16} - \frac{(r^2 - (x - a)^2)}{20} = 1 \] Nhân cả hai vế với 80 để loại bỏ mẫu số: \[ 5x^2 - 4(r^2 - (x - a)^2) = 80 \] \[ 5x^2 - 4r^2 + 4(x^2 - 2ax + a^2) = 80 \] \[ 5x^2 - 4r^2 + 4x^2 - 8ax + 4a^2 = 80 \] \[ 9x^2 - 8ax + 4a^2 - 4r^2 = 80 \] 4. Điều kiện tiếp xúc: Để đường tròn tiếp xúc với hypebol, phương trình trên phải có nghiệm kép. Điều này xảy ra khi hệ số của \(x^2\) và \(x\) tạo thành phương trình bậc hai có дискриминант равен нулю: \[ (-8a)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (4a^2 - 4r^2 - 80) = 0 \] \[ 64a^2 - 36(4a^2 - 4r^2 - 80) = 0 \] \[ 64a^2 - 144a^2 + 144r^2 + 2880 = 0 \] \[ -80a^2 + 144r^2 + 2880 = 0 \] \[ 144r^2 = 80a^2 - 2880 \] \[ r^2 = \frac{80a^2 - 2880}{144} \] \[ r^2 = \frac{5a^2 - 180}{9} \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(r\): Để \(r\) nhỏ nhất, ta cần \(a\) sao cho \(r^2\) nhỏ nhất. Ta thấy rằng \(r^2\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(a^2\) nhỏ nhất. Vì \(a\) là khoảng cách từ tâm đường tròn đến gốc tọa độ, ta chọn \(a\) sao cho \(r\) nhỏ nhất. Ta thử \(a = 4\): \[ r^2 = \frac{5 \cdot 16 - 180}{9} = \frac{80 - 180}{9} = \frac{-100}{9} \quad (\text{không hợp lý}) \] Ta thử \(a = 6\): \[ r^2 = \frac{5 \cdot 36 - 180}{9} = \frac{180 - 180}{9} = 0 \quad (\text{không hợp lý}) \] Ta thử \(a = 8\): \[ r^2 = \frac{5 \cdot 64 - 180}{9} = \frac{320 - 180}{9} = \frac{140}{9} \approx 15.56 \] Vậy đường kính nhỏ nhất của đường tròn là: \[ 2r = 2 \sqrt{\frac{140}{9}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{140}}{3} = \frac{2 \sqrt{140}}{3} \approx 8 \] Đáp án đúng là: D. 8