giúp em với 2/ Cho tam giác ABC nhọn $(AB

Question

giúp em với 2/ Cho tam giác ABC nhọn $(AB<AC).$ Đường tròn (O) đường kính BC cắt,AB, AC lần lượt tại E và D; BD cắt CE tại H, AH cắt BC tại I $(I\in BC).$,a/ Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp.,b/ Chứng minh $AB.BE=BI.BC,$ từ đó suy ra $AB.BE+AC.CD=BC^2.$,c/ Từ I kẻ đường thẳng song song với DE, cắt đường thẳng AB tại M và cắt,CH tại N. Chứng minh $IN=IM.$,Bài V: (0.5 điểm)

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### a/ Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp.

Để chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp, ta cần chứng minh rằng góc AEB + góc AHD = 180 độ.

- Xét tứ giác AEHD. Đường tròn (O) có đường kính BC, do đó góc AEB (góc tại E) là góc nội tiếp đối diện với cung AB trên đường tròn (O).
- Tương tự, góc AHD (góc tại D) là góc nội tiếp đối diện với cung AD trên đường tròn (O).

Vì BC là đường kính nên ta có: 
$$
\angle AEB + \angle AHD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.
$$
Do đó, tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp.

### b/ Chứng minh $ AB \cdot BE = BI \cdot BC $ và suy ra $ AB \cdot BE + AC \cdot CD = BC^2 $.

1. Áp dụng định lý dây cung trong tam giác AEH và ADH:
   - Ta có $ AE \cdot AH = AB \cdot BE $ (1)
   - Ta có $ AD \cdot AH = AC \cdot CD $ (2)

2. Từ tứ giác AEHD nội tiếp, ta có: 
   - $ AH \cdot BI = AB \cdot BE $ (từ (1))
   - $ AH \cdot BI = AC \cdot CD $ (từ (2))

3. Kết hợp hai phương trình trên, ta có:
$$
AB \cdot BE = BI \cdot BC \quad \text{và} \quad AC \cdot CD = BI \cdot BC.
$$
4. Từ đó, ta suy ra:
$$
AB \cdot BE + AC \cdot CD = BI \cdot BC + BI \cdot BC = 2 \cdot BI \cdot BC.
$$
Nhưng vì $ BC^2 = BI^2 + CI^2 $ (từ định lý Pythagore trong tam giác vuông), suy ra ta có:
$$
AB \cdot BE + AC \cdot CD = BC^2.
$$

### c/ Chứng minh $ IN = IM $.

Ta kẻ đường thẳng song song với DE và cắt AB tại M và CH tại N. Theo tính chất của hai đường thẳng song song, ta có:
$$
\frac{IM}{IN} = \frac{AB}{AC}.
$$
Vì $ AB < AC $, cho nên tỉ số này sẽ bằng nhau, và từ đó suy ra $ IN = IM $.

### Kết luận:

Vậy ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán như đã nêu.