Nhanhhhhhhhhhhh

0383218517

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm phương trình của hai parabol và sau đó tính diện tích phần giới hạn bởi chúng.

1. Thiết lập hệ trục tọa độ:

  Đặt hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc $O(0,0)$ là tâm của miếng gỗ hình chữ nhật.

  Miếng gỗ có chiều dài 4m và chiều rộng 2m.

  Do đó, các đỉnh của hình chữ nhật là $A(-2, 1)$, $B(2, 1)$, $C(2, -1)$, $D(-2, -1)$.

  Các cạnh dài là $AB$ và $CD$. Các cạnh rộng là $AD$ và $BC$.

2. Xác định thông tin về parabol:

  *  Hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài. Trung điểm của $AB$ là $(0, 1)$, trung điểm của $CD$ là $(0, -1)$. *Tuy nhiên, đề bài nói đỉnh là trung điểm "cạnh dài", nhưng cách mô tả parabol đi qua điểm đầu "cạnh đối diện" thường ám chỉ parabol có trục đối xứng nằm ngang.*

  *  Hãy giả sử "cạnh dài" là cạnh có độ dài 4m (song song với trục Ox nếu đặt như trên) và "cạnh đối diện" cũng là cạnh dài.

    *  Trung điểm của cạnh $AD$ (độ dài 2m) là $(-2, 0)$.

    *  Trung điểm của cạnh $BC$ (độ dài 2m) là $(2, 0)$.

  *  Theo mô tả: "hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện", có lẽ hiểu đúng là đỉnh parabol nằm trên trục đối xứng của miếng gỗ, tức là trục Ox, tại trung điểm của các cạnh rộng (cạnh 2m).

    *  Đỉnh parabol thứ nhất ($P_1$) là $V_1(-2, 0)$. Parabol này đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện $BC$, tức là $B(2, 1)$ và $C(2, -1)$.

    *  Đỉnh parabol thứ hai ($P_2$) là $V_2(2, 0)$. Parabol này đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện $AD$, tức là $A(-2, 1)$ và $D(-2, -1)$.

3. Tìm phương trình parabol:

  *  Parabol $P_1$: Có đỉnh $V_1(-2, 0)$ và trục đối xứng là trục Ox (vì nó đi qua $(2, 1)$ và $(2, -1)$ đối xứng qua Ox). Phương trình có dạng $x = ay^2 + k$.

    Vì đỉnh là $(-2, 0)$, phương trình là $x = ay^2 - 2$.

    Parabol đi qua $B(2, 1)$, thay tọa độ vào phương trình:

    $2 = a(1)^2 - 2 \Rightarrow 2 = a - 2 \Rightarrow a = 4$.

    Vậy phương trình của $P_1$ là $x = 4y^2 - 2$.

  *  Parabol $P_2$: Có đỉnh $V_2(2, 0)$ và trục đối xứng là trục Ox. Phương trình có dạng $x = ay^2 + k$.

    Vì đỉnh là $(2, 0)$, phương trình là $x = ay^2 + 2$.

    Parabol đi qua $A(-2, 1)$, thay tọa độ vào phương trình:

    $-2 = a(1)^2 + 2 \Rightarrow -2 = a + 2 \Rightarrow a = -4$.

    Vậy phương trình của $P_2$ là $x = -4y^2 + 2$.

4. Tính diện tích hình con cá:

  Hình con cá là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai parabol $P_1$ và $P_2$. Miền này có $y$ chạy từ $-1$ đến $1$.

  Với một giá trị $y$ trong khoảng $[-1, 1]$, hoành độ $x$ của miền bị chặn bởi $x_L = 4y^2 - 2$ (parabol bên trái) và $x_R = -4y^2 + 2$ (parabol bên phải).

  Diện tích $S$ của hình con cá được tính bằng tích phân:

  $S = \int_{-1}^{1} (x_R - x_L) \, dy$

  $S = \int_{-1}^{1} [(-4y^2 + 2) - (4y^2 - 2)] \, dy$

  $S = \int_{-1}^{1} (-4y^2 + 2 - 4y^2 + 2) \, dy$

  $S = \int_{-1}^{1} (-8y^2 + 4) \, dy$

  Tính tích phân:

  $S = \left[ -8 \frac{y^3}{3} + 4y \right]_{-1}^{1}$

  $S = \left( -8 \frac{1^3}{3} + 4(1) \right) - \left( -8 \frac{(-1)^3}{3} + 4(-1) \right)$

  $S = \left( -\frac{8}{3} + 4 \right) - \left( -8 \frac{-1}{3} - 4 \right)$

  $S = \left( -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} \right) - \left( \frac{8}{3} - 4 \right)$

  $S = \left( \frac{4}{3} \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{12}{3} \right)$

  $S = \frac{4}{3} - \left( -\frac{4}{3} \right)$

  $S = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

5. Làm tròn kết quả:

  $S = \frac{8}{3} \approx 2.6666...$

  Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm (hai chữ số thập phân):

  $S \approx 2.67$ $m^2$.

Diện tích con cá là $\frac{8}{3}$ $m^2$.

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, ta được $S \approx 2.67$ $m^2$.