Ehcugsfhjbbv

Câu 8. a) Ta có $\widehat{MBO}=\widehat{MHO}=90^\circ$ nên BOMH là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° là tứ giác nội tiếp) b) Ta có $\widehat{BMO}=\widehat{BHO}$ (cùng chắn cung BO) và $\widehat{OMB}=\widehat{OHM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung OM) nên $\Delta OMB \sim \Delta OHM$ (g.g) Suy ra $\frac{OM}{OB}=\frac{MH}{OM}$ hay $OM^2=OB.MH$ Ta có $\widehat{OMB}=\widehat{OHM}$ (chứng minh trên) và $\widehat{OMB}=\widehat{EMH}$ (đối đỉnh) nên $\widehat{EMH}=\widehat{OHM}$ $\Rightarrow ME$ là tia phân giác của $\widehat{BMH}$ Áp dụng định lý phân giác trong tam giác ta có: $\frac{BE}{HE}=\frac{MB}{MH}$ $\Rightarrow BE.MH=HE.MB$ Mà $OM^2=OB.MH$ (chứng minh trên) và $OB=MB$ (Bán kính) nên $OM^2=MB.MH$ $\Rightarrow HE.MB=OM^2$ $\Rightarrow BE.MH=OM^2$ $\Rightarrow ME.MH=OM^2$ c) Ta có $\widehat{MKC}=\widehat{MHC}$ (cùng chắn cung MC) và $\widehat{MHC}=\widehat{MOE}$ (chứng minh ở phần b) nên $\widehat{MKC}=\widehat{MOE}$ Mà $\widehat{MOE}+\widehat{OME}=180^\circ$ (cặp góc kề bù) nên $\widehat{MKC}+\widehat{OME}=180^\circ$ $\Rightarrow$ Tứ giác OKME nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° là tứ giác nội tiếp) $\Rightarrow \widehat{OKM}=\widehat{OEM}$ (cùng chắn cung OM) Mà $\widehat{OEM}=\widehat{CEM}$ (đối đỉnh) nên $\widehat{OKM}=\widehat{CEM}$ $\Rightarrow$ Ba điểm C, K, E thẳng hàng (hai góc so le trong bằng nhau) Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và các tính chất của các số thực dương. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \[ (a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9 \] Bước 2: Thay điều kiện \( abc = 1 \) Do \( abc = 1 \), ta có: \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = ab + bc + ca \] Bước 3: Kết hợp các kết quả Thay vào bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \[ (a + b + c)(ab + bc + ca) \geq 9 \] Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( a + b + c \) Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( a + b + c \). Để làm điều này, ta xét trường hợp \( a = b = c \). Nếu \( a = b = c \), do \( abc = 1 \), ta có: \[ a^3 = 1 \Rightarrow a = 1 \] \[ b = 1 \] \[ c = 1 \] Khi đó: \[ a + b + c = 1 + 1 + 1 = 3 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( a + b + c \) là 3, đạt được khi \( a = b = c = 1 \). Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của \( a + b + c \) là 3, đạt được khi \( a = b = c = 1 \).