Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... $\frac1{20.23}+\frac1{23.26}+\frac1{26.29}+...+\frac1{77.80}

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... $\frac1{20.23}+\frac1{23.26}+\frac1{26.29}+...+\frac1{77.80}<\frac19$,Câu 3: Không dùng máy tính hãy so sánh $A=\frac{5^{2000}+1}{5^{2021}+1}$ và $B=\frac{10^{2019}+1}{10^{2019}+1}.$,Câu 4: Tính tổng $\frac3{2.5}+\frac3{5.8}+\frac3{8.11}+\frac3{11.14}+\frac3{14.17}+\frac3{17.20}.$,Câu 5: Tìm các số nguyên n để phân số sau có giá trị nguyên: $\frac{n-5}{n-3}$,Câu 6: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì $\frac{14n+3}{21n+4}$ là phân số tối giản.,Câu 7: Thực hiện phép tính: $C=3.\frac1{1.2}-5.\frac1{2.3}+7.\frac1{3.4}-...+15.\frac1{7.8}-17.\frac1{8.9}$

Accepted Answer

Dưới đây là hướng dẫn giải cho các câu hỏi bạn đã nêu:

**Câu 1:** Để chứng minh rằng 
$$
\frac{1}{20 \cdot 23} + \frac{1}{23 \cdot 26} + \frac{1}{26 \cdot 29} + \ldots + \frac{1}{77 \cdot 80} < \frac{1}{9}
$$
Bạn có thể áp dụng công thức 
$$
\frac{1}{a(a + 3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 3} \right)
$$
để viết lại từng phân số trong tổng. Sau đó, bạn sẽ thấy rằng tổng này sẽ trở thành một chuỗi phân số có dạng bù trừ, dẫn đến một số nhỏ hơn $\frac{1}{9}$.

**Câu 2:** Để so sánh 
$$
A = \frac{5^{2000}+1}{5^{2021}+1} \quad \text{và} \quad B = \frac{10^{2019}+1}{10^{2020}+1}
$$
Bạn có thể viết lại $B$ như sau:
$$
B = \frac{10^{2019}+1}{10^{2020}+1} = \frac{2 \cdot 5^{2019}+1}{10 \cdot 5^{2019}+1}
$$
Sau đó, thực hiện so sánh $A$ và $B$ bằng cách quy đổi thành dạng chung và xét dấu của tử số và mẫu số.

**Câu 3:** Tính tổng 
$$
\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \frac{3}{11 \cdot 14} + \frac{3}{14 \cdot 17} + \frac{3}{17 \cdot 20}
$$
Có thể sử dụng công thức tương tự như trong câu 1, tức là 
$$
\frac{1}{a(a + 3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 3} \right)
$$
để viết lại từng phân số trong tổng. Sau đó thực hiện bù trừ các phần tử.

**Câu 4:** Tìm các số nguyên $n$ để 
$$
\frac{n-5}{n-3}
$$
có giá trị nguyên. Để phân số này có giá trị nguyên, bạn có thể yêu cầu rằng $n-5$ phải chia hết cho $n-3$. Điều này dẫn đến điều kiện 
$$
(n-3) - 2 \text{ phải chia hết cho } (n-3)
$$
Từ đó giải ra các giá trị của $n$.

**Câu 5:** Chứng tỏ rằng 
$$
\frac{14n + 3}{21n + 4}
$$
là phân số tối giản. Bạn có thể tìm ƯCLN của tử và mẫu. Nếu ƯCLN bằng 1 thì phân số là tối giản. Bạn có thể áp dụng phương pháp giải thuật Euclid để chứng minh rằng ƯCLN(14n + 3, 21n + 4) = 1 cho mọi số tự nhiên $n$.

**Câu 6:** Thực hiện phép tính 
$$
C = 3 \cdot \frac{1}{1 \cdot 2} - 5 \cdot \frac{1}{2 \cdot 3} + 7 \cdot \frac{1}{3 \cdot 4} - \ldots + 15 \cdot \frac{1}{7 \cdot 8} - 17 \cdot \frac{1}{8 \cdot 9}
$$
Sử dụng các công thức tương tự như trong các câu trên để biến đổi các phân số và làm cho phép tính dễ dàng hơn, cuối cùng là cộng các giá trị lại với nhau.

Hy vọng rằng các bước trên sẽ giúp bạn giải quyết các câu hỏi này!