Cho tam giác ABC (AB

Question

Cho tam giác ABC (AB < AC) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. 
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiệp 
b) Tia CB cắt tia DE tại F. Chưng sminh FB*FC = FE*FD 
c) Đường thẳng AF cắt (O) tại điểm thứ 2 là K. Chứng minh K thuộc đường tròn ngoại tiếp t/g ADHE

Accepted Answer

{"userId":5035667,"userName":"Dương Gia Bảo"}

a) Chứng minh tứ giác $ADHE$ nội tiếp.

Tứ giác $ADHE$ có:

$\angle ADH = 90^\circ$ (vì $BD$ là đường cao)

$\angle AEH = 90^\circ$ (vì $CE$ là đường cao)

$\angle ADH + \angle AEH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Vậy tứ giác $ADHE$ là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối bằng $180^\circ$).

b) Chứng minh $FB \cdot FC = FE \cdot FD$.

Xét $ riangle FBE$ và $ riangle FCD$:

$\angle F$ chung

$\angle FEB = \angle DCB$ (cùng chắn cung $AD$ của tứ giác nội tiếp $ADHE$, hoặc cùng phụ với $\angle BAC$).

Do đó, $ riangle FBE \sim riangle FCD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{FB}{FD} = \frac{FE}{FC}$

$\Rightarrow FB \cdot FC = FE \cdot FD$

c) Chứng minh $K$ thuộc đường tròn ngoại tiếp $ riangle ADHE$.

Gọi $K'$ là giao điểm của $AF$ và đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ADHE$. Ta cần chứng minh $K' \equiv K$.

Xét tứ giác $ADHE$ nội tiếp, ta có $\angle ADE = \angle AHE$ (cùng chắn cung $AE$)

Mà $\angle AHE = \angle CHD$ (đối đỉnh)

$\angle CHD = \angle CBD = \angle CBE$ (cùng phụ với $\angle BCE$)

Vậy $\angle ADE = \angle CBE$

Ta có $\angle FBE = \angle ADE$

$\angle FBE = \angle FCE$ (do $FB \cdot FC = FE \cdot FD$)

$\angle ADE = \angle FCE$

Gọi $K'$ là giao điểm của $AF$ với đường tròn $(O)$.

Ta có $\angle FBE = \angle FK'E$ (góc ngoài của tứ giác nội tiếp $BCEK'$)

Suy ra $\angle FK'E = \angle ADE$.

Mà $\angle ADE = \angle AHE$ (tứ giác $ADHE$ nội tiếp)

$\angle FK'E = \angle AHE$

Xét tứ giác $AK'HE$, có $\angle AK'E = \angle AHE$.

Vậy tứ giác $AK'HE$ nội tiếp.

Do đó, $K'$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ADHE$.

Vậy $K \equiv K'$ hay $K$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ADHE$.

Cho tam giác ABC (AB < AC) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiệp b) Tia CB cắt tia DE tại F. Chưng sminh FB*FC = FE*FD c)...

Cho tam giác ABC (AB < AC) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiệp b) Tia CB cắt tia DE tại F. Chưng sminh FBFC = FEFD c)...