Cho tam giác ABC có AB bé hơn AC AD là tia phân giác của góc Bac d thuộc BC trên AC lấy điểm E sao cho AB = AE a chứng minh tam giác ABD bằng tam giác aed b m là giao điểm của AD và Be Chứng minh tam g...

hiếu vũ

Giải:

a) Xét $\triangle ABD$ và $\triangle AED$ có:

- $AB = AE$ (giả thiết)

- $\widehat{BAD} = \widehat{EAD}$ ($AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$)

- $AD$ chung

Suy ra $\triangle ABD = \triangle AED$ (c.g.c)

b) Vì $\triangle ABD = \triangle AED$ (chứng minh trên) nên $BD = ED$ (hai cạnh tương ứng)

Suy ra $\triangle BDE$ cân tại $D$.

Do $AB = AE$ nên $\triangle ABE$ cân tại $A$, suy ra $\widehat{ABE} = \widehat{AEB}$.

Ta có $\widehat{BAE} + \widehat{ABE} + \widehat{AEB} = 180^\circ$ hay $\widehat{BAE} + 2\widehat{ABE} = 180^\circ$

$\widehat{BAC} = \widehat{BAE}$

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle AEM$ có:

- $AB = AE$ (giả thiết)

- $\widehat{BAM} = \widehat{EAM}$ ($AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$)

- $AM$ chung

Suy ra $\triangle ABM = \triangle AEM$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{AMB} = \widehat{AME}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMB} + \widehat{AME} = 180^\circ$ nên $\widehat{AMB} = \widehat{AME} = 90^\circ$

Vậy $AD \perp BE$ tại $M$.

c) Vì $\triangle ABM = \triangle AEM$ nên $MB = ME$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó $AM$ là đường trung tuyến của $\triangle ABE$.

Mà $AG = \frac{2}{3}AM$ nên $G$ là trọng tâm của $\triangle ABE$

Gọi $I$ là trung điểm của $AE$. Vì $G$ là trọng tâm của $\triangle ABE$ nên $BG = \frac{2}{3}BI$.

Vì $GA = GK$ và $G$ thuộc $AM$ nên $G$ là trung điểm của $AK$.

Xét $\triangle AEK$ có $G$ là trung điểm của $AK$ và $M$ là trung điểm của $AE$ nên $MG$ là đường trung bình của $\triangle AEK$.

Suy ra $MG // EK$ và $EK = 2MG$.

Ta có $AM = \frac{3}{2} AG$ và $MG = AM - AG = \frac{3}{2} AG - AG = \frac{1}{2} AG = \frac{1}{2} GK$.

Do đó $EK = 2MG = 2 \cdot \frac{1}{2} GK = GK = GA$.

Vì $G$ là trọng tâm của $\triangle ABE$ nên $BG = \frac{2}{3}BI$.

Mặt khác, $EK = GA$. Do đó $GB = EK$ (vì cùng bằng $GA$).