cho tam giác abc vuông ở c , có góc a = 60 độ. tia phân giác của góc bac cắt bc ở e. kẻ ek vuông với ab ( k thuộc ab) . kẻ bd vuông góc với tia ae ( d thuộc ae ) . cm :
a. ac = ak và ae vuông góc ở ck
b.ka = kc
c.eb ac
d. 3 đường thẳng ac, bd, ke cùng đi qua một điểm

Question

cho tam giác abc vuông ở c , có góc a = 60 độ. tia phân giác của góc bac cắt bc ở e. kẻ ek vuông với ab ( k thuộc ab) . kẻ bd vuông góc với tia ae ( d thuộc ae ) . cm :
a. ac = ak và ae vuông góc ở ck
b.ka = kc
c.eb > ac
d. 3 đường thẳng ac, bd, ke cùng đi qua một điểm

Timi · Accepted Answer

a. Ta có $\widehat{A} = 60^\circ$, $\widehat{C} = 90^\circ$. Do đó $\widehat{B} = 30^\circ$. 
Tia phân giác của góc $\widehat{A}$ chia đôi góc này thành hai góc bằng nhau, tức là $\widehat{BAE} = \widehat{CAE} = 30^\circ$. 
Vì $EK \perp AB$, nên $\widehat{AKE} = 90^\circ$. 
Do đó, $\widehat{EAK} = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$. 
Vậy $\widehat{EAK} = \widehat{CAE} = 30^\circ$, suy ra $AC = AK$. 
Mặt khác, do $EK \perp AB$ và $AE$ là tia phân giác của góc $\widehat{A}$, nên $AE \perp CK$.

b. Vì $AC = AK$ và $AE$ là tia phân giác của góc $\widehat{A}$, nên $KA = KC$.

c. Ta có $\widehat{B} = 30^\circ$, $\widehat{BAE} = 30^\circ$. 
Do đó, $\widehat{AEB} = 180^\circ - (\widehat{B} + \widehat{BAE}) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$. 
Vì $\widehat{AEB} = 120^\circ$, nên $EB > AC$.

d. Ta có $BD \perp AE$ và $EK \perp AB$. 
Do đó, $BD$ và $EK$ là các đường cao của tam giác $ABE$. 
Vì $AC = AK$, nên $AC$ cũng là đường cao của tam giác $ABE$. 
Vậy ba đường thẳng $AC$, $BD$, $KE$ cùng đi qua một điểm.

Đáp số:
a. $AC = AK$ và $AE \perp CK$
b. $KA = KC$
c. $EB > AC$
d. Ba đường thẳng $AC$, $BD$, $KE$ cùng đi qua một điểm.

𝙥é 𝙢ư𝙖 ᶻ 𝗓 𐰁 .ᐟ · Answer

Cho tam giác ABC vuông tại C, có góc A = 60 độ. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại E. Kẻ EK vuông góc với AB (K thuộc AB). Kẻ BD vuông góc với tia AE (D thuộc AE). Chứng minh:

a. AC = AK và AE vuông góc với CK

b. KA = KC

c. EB > AC

d. 3 đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm

[Phân tích]

Bài toán này liên quan đến hình học phẳng, cụ thể là tam giác vuông, tia phân giác, và các đường vuông góc. Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng các kiến thức về:

Các tính chất của tam giác vuông (ví dụ: các góc nhọn phụ nhau, định lý Pythagoras)
Các tính chất của tia phân giác (ví dụ: điểm nằm trên tia phân giác cách đều hai cạnh của góc)
Các định lý về đường thẳng song song và vuông góc
Các tiêu chuẩn đồng dạng và bằng nhau của tam giác

[Giải]

a. Chứng minh AC = AK và AE vuông góc với CK

Bước 1: Xét tam giác AKE và tam giác ACE

AE là cạnh chung
Góc KAE = góc CAE (AE là tia phân giác của góc BAC)
Góc AKE = góc ACE = 90 độ => Tam giác AKE = tam giác ACE (cạnh huyền - góc nhọn) => AK = AC (hai cạnh tương ứng) (1) Bước 2: Gọi giao điểm của AE và CK là I. Xét tam giác AKI và tam giác ACI:
AK = AC (chứng minh trên)
AI là cạnh chung
Góc KAI = góc CAI (AE là tia phân giác của góc BAC) => Tam giác AKI = tam giác ACI (c-g-c) => Góc AIK = góc AIC (hai góc tương ứng) Mà góc AIK + góc AIC = 180 độ (hai góc kề bù) => Góc AIK = góc AIC = 90 độ => AE vuông góc với CK tại I (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

b. Chứng minh KA = KC

Bước 1: Xét tam giác ABC vuông tại C có góc A = 60 độ

=> Góc B = 90 độ - 60 độ = 30 độ

Bước 2: Xét tam giác BEC có góc EBC = 30 độ. Gọi góc AEB là góc ngoài tại đỉnh E của tam giác ABE.

Góc AEB = góc EAK + góc AKE = 30 độ + 90 độ = 120 độ

=> Góc CEB = 180 độ - 120 độ = 60 độ

Bước 3: Xét tam giác ACE có góc CAE = 30 độ, góc ACE = 90 độ

=> Góc AEC = 180 độ - 30 độ - 90 độ = 60 độ

=> Tam giác ACE cân tại A => AC = AE

Mà AC = AK (chứng minh trên) => AE = AK

Bước 4: Vì AE là phân giác góc BAC => E cách đều AB và AC => EC = EK

Xét tam giác vuông ACE và tam giác vuông AKE có:

AE chung

AC = AK

=> Tam giác vuông ACE = tam giác vuông AKE (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

=> EC = EK

Bước 5: Ta có: góc KAC = 60 độ. Mà tam giác AKC cân tại A (AK = AC)

=> Tam giác AKC là tam giác đều => AK = KC = AC.

Vậy KA = KC

c. Chứng minh EB > AC

Bước 1: Ta có góc ECB = 90 độ - góc CEB = 90 độ - 60 độ = 30 độ

=> Góc EBC = góc ECB = 30 độ => Tam giác BEC cân tại E => EB = EC

Bước 2: Xét tam giác vuông ACE có cạnh huyền AE > AC

Mà EC = EB => EB > AC

d. Chứng minh 3 đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm

Gọi giao điểm của AC và BD là O. Ta cần chứng minh O thuộc KE.

Câu này cần kiến thức nâng cao hơn về hình học, có thể sử dụng định lý Ceva hoặc Menelaus.

[Đáp án]

a. AC = AK và AE vuông góc với CK (đã chứng minh)

b. KA = KC (đã chứng minh)

c. EB > AC (đã chứng minh)

d. 3 đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm (cần chứng minh thêm bằng định lý Ceva hoặc Menelaus)

cho tam giác abc vuông ở c , có góc a = 60 độ. tia phân giác của góc bac cắt bc ở e. kẻ ek vuông với ab ( k thuộc ab) . kẻ bd vuông góc với tia ae ( d thuộc ae ) . cm : a. ac = ak và ae vuông góc ở ck...