Câu 4. Cho ∆ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường cao AH. Kẻ HE 1 AB; HF 1 AC; (E∈ AB; F ∈HC) a) Chứng minh: ΔΑΕΗ 5 ΔΑΗΒ và AE.AB = AH² b) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh: MB.MC = ME....

Câu 4. a) Xét tam giác AEH và tam giác AHB, ta có: - Góc AEH = góc AHB = 90° (vì HE vuông góc với AB và AH là đường cao) - Góc EAH chung Do đó, tam giác AEH đồng dạng với tam giác AHB (góc - góc) Từ đó, ta có tỉ lệ: \[ \frac{AE}{AH} = \frac{AH}{AB} \] Nhân cả hai vế với AH và AB, ta được: \[ AE \cdot AB = AH^2 \] b) Ta sẽ chứng minh MB.MC = ME.MF bằng cách sử dụng tính chất của đường tròn ngoại tiếp. Xét tam giác AHE và tam giác AHF, ta có: - Góc AEH = góc AFH = 90° (vì HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC) - Góc HAE chung Do đó, tam giác AHE đồng dạng với tam giác AHF (góc - góc) Từ đó, ta có tỉ lệ: \[ \frac{AE}{AH} = \frac{AH}{AF} \] Nhân cả hai vế với AH và AF, ta được: \[ AE \cdot AF = AH^2 \] Bây giờ, xét tam giác AEB và tam giác AFC, ta có: - Góc AEB = góc AFC = 90° (vì HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC) - Góc EAB chung Do đó, tam giác AEB đồng dạng với tam giác AFC (góc - góc) Từ đó, ta có tỉ lệ: \[ \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} \] Nhân cả hai vế với AB và AC, ta được: \[ AE \cdot AC = AF \cdot AB \] Bây giờ, ta xét tam giác MBE và tam giác MCF, ta có: - Góc MBE = góc MCF (cùng bù với góc MBC) - Góc MEB = góc MFC (cùng bù với góc MFB) Do đó, tam giác MBE đồng dạng với tam giác MCF (góc - góc) Từ đó, ta có tỉ lệ: \[ \frac{MB}{ME} = \frac{MC}{MF} \] Nhân cả hai vế với ME và MF, ta được: \[ MB \cdot MC = ME \cdot MF \] Vậy ta đã chứng minh được MB.MC = ME.MF. Câu 20. a) Ta có ∠BAC = ∠AHB = 90° ∠ABC chung Suy ra ΔHBA ~ ΔABC (g-g) b) Ta có BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9 + 16 = 25 BC = 5 cm Diện tích tam giác ABC = $\frac{1}{2}$ × AB × AC = $\frac{1}{2}$ × 3 × 4 = 6 cm^2 Diện tích tam giác ABC = $\frac{1}{2}$ × BC × AH = 6 cm^2 $\frac{1}{2}$ × 5 × AH = 6 AH = 2,4 cm c) Ta có ∠ABM = ∠CBM (MN là đường phân giác của góc ABC) ∠AMB = ∠CMN (đối đỉnh) Suy ra ΔAMB ~ ΔCNM (g-g) Tỉ số đồng dạng là $\frac{AM}{CN}$ Suy ra $\frac{AM}{CN} = \frac{MB}{MN}$ Suy ra AM × MN = MB × CN Suy ra MA × NA = MH × NC Câu 21. Để tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều, ta cần biết diện tích của một mặt bên và số lượng các mặt bên. Bước 1: Tính diện tích của một mặt bên. - Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt bên, mỗi mặt bên là một tam giác đều. - Diện tích của một tam giác được tính bằng công thức: $\frac{1}{2} \times \text{cạnh đáy} \times \text{chiều cao}$. - Ở đây, cạnh đáy của tam giác mặt bên là 12 cm và chiều cao của tam giác mặt bên là 10 cm. Diện tích của một mặt bên là: \[ \frac{1}{2} \times 12 \times 10 = 60 \text{ cm}^2 \] Bước 2: Tính diện tích xung quanh của hình chóp. - Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là tổng diện tích của 4 mặt bên. Diện tích xung quanh là: \[ 4 \times 60 = 240 \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là 240 cm².