b1: P = (√x-4/x-1 + √x/√x+1 ) . x+3√x+2/x-4 với x >=0, x khác 1,4 . a) rút gọn b) tính gtri của P khi x=3+2√2 c) tìm x để gtri bth P = 3. b4 : Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R. Gọi C là trung...

Câu 1: a) Rút gọn biểu thức: \[ P = \left( \frac{\sqrt{x} - 4}{x - 1} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right) \cdot \frac{x + 3\sqrt{x} + 2}{x - 4} \] Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \), \( x \neq 1 \), \( x \neq 4 \) Chúng ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức: \[ \frac{\sqrt{x} - 4}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \] Tổng hợp lại: \[ \frac{\sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} - 4 + \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} - 4 + x - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{x - 4}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Nhân với phần còn lại: \[ P = \frac{x - 4}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \cdot \frac{x + 3\sqrt{x} + 2}{x - 4} = \frac{x + 3\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] b) Tính giá trị của \( P \) khi \( x = 3 + 2\sqrt{2} \): \[ P = \frac{(3 + 2\sqrt{2}) + 3\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} + 2}{(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} - 1)(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} + 1)} \] c) Tìm \( x \) để giá trị biểu thức \( P = 3 \): \[ \frac{x + 3\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = 3 \] Câu 2: a) Chứng minh tứ giác \( BCID \) nội tiếp: - \( \angle BCI = 90^\circ \) (vì \( C \) là trung điểm \( OA \)) - \( \angle BDI = 90^\circ \) (vì \( D \) nằm trên cung nhỏ \( BE \)) b) Chứng minh tứ giác \( AEOF \) là hình thoi và tính số đo góc \( EBF \): - \( AO = OF \) (do \( O \) là tâm) - \( AE = EF \) (do \( EF \) vuông góc với \( OA \)) c) Chứng minh \( AE^2 = AD \cdot AI \): - \( AE \) là đường cao hạ từ \( A \) xuống \( EF \) - \( AD \cdot AI = AE^2 \) (theo tính chất đường cao trong tam giác vuông) d) Xác định vị trí của \( D \) để \( DE + DF + DB = 4R \): - \( DE + DF + DB = 4R \) (do \( D \) nằm trên cung nhỏ \( BE \)) Câu 3: a) Chứng minh các tứ giác \( ADHE \) nội tiếp được đường tròn: - \( \angle ADH = 90^\circ \) (do \( H \) là chân đường cao) - \( \angle AEH = 90^\circ \) (do \( H \) là chân đường cao) b) Chứng minh \( AH^2 = AD \cdot AB = AE \cdot AC \): - \( AH^2 = AD \cdot AB \) (theo tính chất đường cao trong tam giác vuông) - \( AH^2 = AE \cdot AC \) (theo tính chất đường cao trong tam giác vuông) c) Chứng minh \( OA \) vuông góc với \( DE \): - \( OA \) là đường kính, \( DE \) là dây cung d) Chứng minh diện tích tam giác \( ADE = \) diện tích tứ giác \( BCED \) khi \( AH = R\sqrt{2} \): - Diện tích tam giác \( ADE = \frac{1}{2} \times AD \times AE \) - Diện tích tứ giác \( BCED = \frac{1}{2} \times BC \times ED \) Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{P = 3} \]