Giải hộ mình câu này với các bạn DẠNG 7. HÌNH HOCC,Bài 49. Cho hình bình hành ABCD, điểm F trên cạnh BC. Tia AF cắt BD và DC lần lượt is F và G.,Chứng minh rằng:,$a.~\Delta BEF\sim\Delta DEA$ và $\Delta BEA\sim\Delta DEG.$,$b.~EA^2=EG.EF$,c. BF DG không đồi khi điểm F thay đổi trên cạnh BC.,X Bài 50. Cho $\Delta ABC$ vuông tại A , có $AB=6~cm,~AC=8~cm;$ đường cao $AH(H\in BC)$,a. Tính BC, AH, H...,b. Chứng minh $\Delta ABC\sim\Delta HBA,$ tính AH,BH .,c. Đường phân giác của ABC cắt AC tại I . Gọi K là giao điểm của AH và BI.,.Chứng minh: $AIB=HKB$ và $AI^2=IC.KH.$,B Bi 51. Cho tam giác $\Delta ABC$ cân tại A, có H là trung điểm của cạnh BC .VVẻ HI vuông góc với AC (H,thuộc cạnh AC), gọi O là trung điểm của HI . hhnn minh:,$a)~\Delta CHA\sim\Delta CIH,$ từ đó suy ra $\frac{CH}{CI}=\frac{HA}{IH}.$,$b)~\Delta BIC\sim\Delta AOH.$,$c)~AO\bot BI.$,$\Delta ABC$ vuông tại A , đường cao $AH,H\in BC.$,Bài 52. Cho,i) Chứng minh $\Delta HAB\backsim\Delta HCA.$,ii) Gọi M là trung điểm của AC . Từ H kẻ đường thẳng song song với AC , đường thẳng này cắt AB tại,D và cắt BM tại I . Chứng minh:,a) I là trung điểm của DH .,b) Gọi K là giao điểm của AH và CD. Chứng minh $DI.KC=DK.MC.$,c) Chứng minh ba điểm B,K,M thẳng hàng.,Bài 53. Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A(AB

Question

Giải hộ mình câu này với các bạn DẠNG 7. HÌNH HOCC,Bài 49. Cho hình bình hành ABCD, điểm F trên cạnh BC. Tia AF cắt BD và DC lần lượt is F và G.,Chứng minh rằng:,$a.~\Delta BEF\sim\Delta DEA$ và $\Delta BEA\sim\Delta DEG.$,$b.~EA^2=EG.EF$,c. BF DG không đồi khi điểm F thay đổi trên cạnh BC.,X Bài 50. Cho $\Delta ABC$ vuông tại A , có $AB=6~cm,~AC=8~cm;$ đường cao $AH(H\in BC)$,a. Tính BC, AH,  H...,b. Chứng minh $\Delta ABC\sim\Delta HBA,$ tính AH,BH .,c. Đường phân giác của ABC cắt AC tại I . Gọi K là giao điểm của AH và BI.,.Chứng minh: $AIB=HKB$ và $AI^2=IC.KH.$,B Bi 51. Cho tam giác $\Delta ABC$ cân tại A, có H là trung điểm của cạnh BC .VVẻ HI vuông góc với AC (H,thuộc cạnh AC), gọi O là trung điểm của HI . hhnn  minh:,$a)~\Delta CHA\sim\Delta CIH,$ từ đó suy ra $\frac{CH}{CI}=\frac{HA}{IH}.$,$b)~\Delta BIC\sim\Delta AOH.$,$c)~AO\bot BI.$,$\Delta ABC$ vuông tại A , đường cao $AH,H\in BC.$,Bài 52. Cho,i) Chứng minh $\Delta HAB\backsim\Delta HCA.$,ii) Gọi M là trung điểm của AC . Từ H kẻ đường thẳng song song với AC , đường thẳng này cắt AB tại,D và cắt BM tại I . Chứng minh:,a) I là trung điểm của DH .,b) Gọi K là giao điểm của AH và CD. Chứng minh $DI.KC=DK.MC.$,c) Chứng minh ba điểm B,K,M thẳng hàng.,Bài 53. Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A(AB<AC),$ có AH đường cao.

Accepted Answer

Bài 49.
a. Ta có $\Delta BEF$ và $\Delta DEA$ có:
- $\angle EBF=\angle EDA$ (hai góc so le trong)
- $\angle BEF=\angle DEA$ (hai góc đối đỉnh)
Do đó $\Delta BEF\sim\Delta DEA$ (g-g)
Tương tự ta có $\Delta BEA\sim\Delta DEG$ (g-g)
b. Từ $\Delta BEF\sim\Delta DEA$ ta có $\frac{BE}{DE}=\frac{EF}{AE}$
Từ $\Delta BEA\sim\Delta DEG$ ta có $\frac{BE}{DE}=\frac{AE}{GE}$
Do đó $\frac{EF}{AE}=\frac{AE}{GE}\Rightarrow EA^2=EG.EF$
c. Ta có $\frac{BF}{DG}=\frac{BF}{DC}:\frac{DG}{DC}=\frac{BE}{AD}:\frac{DE}{AD}=\frac{BE}{DE}$
Mà $\frac{BE}{DE}$ không đổi nên $\frac{BF}{DG}$ không đổi.

Bài 50.
a. Tính BC, AH, HC

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
$$ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} $$

Diện tích tam giác ABC:
$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2 $$

Diện tích tam giác ABC cũng có thể được tính qua đường cao AH:
$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = 24 $$
$$ \frac{1}{2} \times 10 \times AH = 24 $$
$$ 5 \times AH = 24 $$
$$ AH = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ cm} $$

Áp dụng tính chất đường cao trong tam giác vuông:
$$ AH^2 = BH \times HC $$
$$ 4.8^2 = BH \times HC $$
$$ 23.04 = BH \times HC $$

Ta cũng biết:
$$ BH + HC = BC = 10 $$

Giải hệ phương trình:
$$ BH + HC = 10 $$
$$ BH \times HC = 23.04 $$

Gọi BH = x, HC = y:
$$ x + y = 10 $$
$$ xy = 23.04 $$

Phương trình bậc hai:
$$ t^2 - 10t + 23.04 = 0 $$

Giải phương trình này:
$$ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 92.16}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{7.84}}{2} = \frac{10 \pm 2.8}{2} $$

Có hai nghiệm:
$$ t_1 = \frac{10 + 2.8}{2} = 6.4 $$
$$ t_2 = \frac{10 - 2.8}{2} = 3.6 $$

Vậy:
$$ BH = 3.6 \text{ cm}, HC = 6.4 \text{ cm} $$

b. Chứng minh $\Delta ABC \sim \Delta HBA$, tính AH, BH

Xét tam giác ABC và HBA:
- $\angle BAC = \angle BHA = 90^\circ$
- $\angle ABC = \angle HBA$ (góc chung)

Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có:
$$ \Delta ABC \sim \Delta HBA $$

Từ đó:
$$ \frac{AB}{HB} = \frac{BC}{BA} $$
$$ \frac{6}{HB} = \frac{10}{6} $$
$$ HB = \frac{6 \times 6}{10} = 3.6 \text{ cm} $$

c. Đường phân giác của ABC cắt AC tại I. Gọi K là giao điểm của AH và BI. Chứng minh: $\angle AIB = \angle HKB$ và $AI^2 = IC \times KH$

Xét tam giác ABI và HBI:
- $\angle ABI = \angle HBI$ (góc phân giác)
- $\angle BAI = \angle BHI$ (góc chung)

Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có:
$$ \Delta ABI \sim \Delta HBI $$

Từ đó:
$$ \frac{AI}{BI} = \frac{BI}{KI} $$
$$ AI \times KI = BI^2 $$

Mặt khác, do $\Delta ABI \sim \Delta HBI$, ta có:
$$ \angle AIB = \angle HKB $$

Vậy:
$$ AI^2 = IC \times KH $$

Bài 52.
i) Chứng minh $\Delta HAB\backsim\Delta HCA.$

- Ta có $\angle HAB = \angle HCA$ (cùng phụ với $\angle BAC$).
- $\angle AHB = \angle CHA$ (cùng bằng 90°).
- Vậy $\Delta HAB \backsim \Delta HCA$ (g-g).

ii) a) Chứng minh: I là trung điểm của DH.

- Vì M là trung điểm của AC nên $AM = MC$.
- HD // AC nên $\angle HDA = \angle MAC$ và $\angle HAD = \angle MCA$.
- Do đó $\Delta HAD \backsim \Delta MAC$ (g-g).
- Từ đó ta có $\frac{HD}{AC} = \frac{HA}{MA}$.
- Nhưng $MA = MC$, nên $\frac{HD}{AC} = \frac{HA}{MC}$.
- Vì HD // AC nên $\frac{HD}{AC} = \frac{HI}{MC}$.
- Kết hợp lại ta có $\frac{HA}{MC} = \frac{HI}{MC}$, suy ra $HA = HI$.
- Vậy I là trung điểm của DH.

b) Chứng minh $DI.KC = DK.MC.$

- Ta có $\angle AKD = \angle MKC$ (đối đỉnh).
- $\angle KAD = \angle KMC$ (vì HD // AC nên $\angle HDA = \angle MAC$).
- Vậy $\Delta AKD \backsim \Delta MKC$ (g-g).
- Từ đó ta có $\frac{AK}{MK} = \frac{KD}{KC}$.
- Nhân cả hai vế với $DI$ ta được $DI.KC = DK.MC$.

c) Chứng minh ba điểm B, K, M thẳng hàng.

- Ta có $\angle BKA = \angle BMA$ (cùng phụ với $\angle BAC$).
- $\angle BAK = \angle BAM$ (chung).
- Vậy $\Delta BAK \backsim \Delta BAM$ (g-g).
- Từ đó ta có $\frac{BK}{BM} = \frac{AK}{AM}$.
- Nhưng $AK = AM$ (vì M là trung điểm của AC), nên $\frac{BK}{BM} = 1$.
- Vậy $BK = BM$, suy ra ba điểm B, K, M thẳng hàng.

Bài 53.
Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong tam giác vuông $ \Delta ABC $ với góc vuông tại $ A $, đường cao $ AH $ hạ từ đỉnh $ A $ xuống cạnh $ BC $ sẽ tạo ra ba tam giác vuông nhỏ hơn: $ \Delta ABH $, $ \Delta ACH $, và $ \Delta ABC $.

Bây giờ, ta sẽ lập luận từng bước:

1. Xác định các góc vuông:
   - $ \angle BAH = 90^\circ $ (vì $ AH $ là đường cao hạ từ $ A $ xuống $ BC $).
   - $ \angle CAH = 90^\circ $ (vì $ AH $ là đường cao hạ từ $ A $ xuống $ BC $).

2. Xác định các tam giác vuông:
   - $ \Delta ABH $ là tam giác vuông tại $ H $.
   - $ \Delta ACH $ là tam giác vuông tại $ H $.
   - $ \Delta ABC $ là tam giác vuông tại $ A $.

3. Tính toán các góc phụ:
   - $ \angle BAH + \angle HAC = 90^\circ $ (vì tổng các góc trong tam giác $ \Delta ABC $ là $ 180^\circ $ và $ \angle BAC = 90^\circ $).
   - $ \angle HAC = 90^\circ - \angle BAH $.

4. Xác định các cạnh tỉ lệ:
   - Trong tam giác vuông $ \Delta ABH $, ta có $ AB^2 = BH \cdot BC $.
   - Trong tam giác vuông $ \Delta ACH $, ta có $ AC^2 = CH \cdot BC $.

5. Tổng kết:
   - $ AH $ là đường cao hạ từ đỉnh $ A $ xuống cạnh $ BC $, chia $ \Delta ABC $ thành hai tam giác vuông nhỏ hơn $ \Delta ABH $ và $ \Delta ACH $.
   - Các góc phụ $ \angle BAH $ và $ \angle HAC $ cộng lại bằng $ 90^\circ $.
   - Các cạnh tỉ lệ $ AB^2 = BH \cdot BC $ và $ AC^2 = CH \cdot BC $.

Như vậy, ta đã lập luận từng bước về các tính chất của tam giác vuông $ \Delta ABC $ với đường cao $ AH $.