Cứuuuuuuuyuuuuu

Bài 2. Điều kiện xác định: \( a \geq 0, a \neq 1 \). a) Rút gọn biểu thức \( M \): \[ M = \left( \frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \right) : \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2\sqrt{a} + 1} \] Chúng ta sẽ thực hiện các phép biến đổi như sau: \[ \frac{1}{a - \sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \] \[ \frac{1}{\sqrt{a} - 1} = \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \] Tổng của hai phân số này là: \[ \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1} = \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \] Biểu thức \( M \) trở thành: \[ M = \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} : \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2\sqrt{a} + 1} \] Chúng ta biết rằng \( a - 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} - 1)^2 \), do đó: \[ M = \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \times \frac{(\sqrt{a} - 1)^2}{\sqrt{a} + 1} \] Rút gọn biểu thức: \[ M = \frac{(\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a}} \] b) Tính giá trị biểu thức \( M \) khi \( a = 4 \): \[ M = \frac{\sqrt{4} - 1}{\sqrt{4}} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2} \] c) Tìm giá trị nguyên của \( a \) để biểu thức \( M \) nhận giá trị nguyên: \[ M = \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}} \] Để \( M \) là số nguyên, \( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}} \) phải là số nguyên. Điều này xảy ra khi \( \sqrt{a} - 1 \) chia hết cho \( \sqrt{a} \). Chúng ta thử các giá trị nguyên của \( a \): - Khi \( a = 1 \): \( \sqrt{a} = 1 \), \( M = \frac{1 - 1}{1} = 0 \) (không thỏa mãn vì \( a \neq 1 \)). - Khi \( a = 4 \): \( \sqrt{a} = 2 \), \( M = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2} \) (không là số nguyên). - Khi \( a = 9 \): \( \sqrt{a} = 3 \), \( M = \frac{3 - 1}{3} = \frac{2}{3} \) (không là số nguyên). - Khi \( a = 16 \): \( \sqrt{a} = 4 \), \( M = \frac{4 - 1}{4} = \frac{3}{4} \) (không là số nguyên). Do đó, không có giá trị nguyên của \( a \) nào thỏa mãn điều kiện để \( M \) là số nguyên. Đáp số: a) \( M = \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}} \) b) \( M = \frac{1}{2} \) khi \( a = 4 \) c) Không có giá trị nguyên của \( a \) để \( M \) là số nguyên.