Trả lời giúp tôi

Câu 69. a) Tiệm cận đứng của đồ thị (C) có phương trình: $x=-1$ Điều kiện xác định: $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị (C) là đường thẳng $x = -1$. b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2,-1)$ và $(-1;0).$ Đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{-x^2 + x + 1}{x + 1}\right)' = \frac{(-2x + 1)(x + 1) - (-x^2 + x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + x + 1 + x^2 - x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{-x^2 - 2x}{(x + 1)^2} = \frac{-x(x + 2)}{(x + 1)^2} \] Hàm số đồng biến khi $y' > 0$, tức là: \[ \frac{-x(x + 2)}{(x + 1)^2} > 0 \] Do $(x + 1)^2 > 0$ với mọi $x \neq -1$, ta xét dấu của $-x(x + 2)$: - $-x(x + 2) > 0$ khi $x \in (-2, 0)$ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-2, -1)$ và $(-1, 0)$. c) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x) = \frac{-x^2 + x + 1}{x + 1}$ trên $[2, 3]$ là $f(3)$. Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và trong khoảng: \[ f(2) = \frac{-2^2 + 2 + 1}{2 + 1} = \frac{-4 + 2 + 1}{3} = \frac{-1}{3} \] \[ f(3) = \frac{-3^2 + 3 + 1}{3 + 1} = \frac{-9 + 3 + 1}{4} = \frac{-5}{4} \] So sánh các giá trị: \[ f(2) = -\frac{1}{3} \approx -0.333 \] \[ f(3) = -\frac{5}{4} = -1.25 \] Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[2, 3]$ là $f(2) = -\frac{1}{3}$. d) Đồ thị $(C)$ không cắt trục Ox. Để đồ thị cắt trục Ox, ta cần tìm nghiệm của phương trình: \[ \frac{-x^2 + x + 1}{x + 1} = 0 \] \[ -x^2 + x + 1 = 0 \] \[ x^2 - x - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Các nghiệm là: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \] Cả hai nghiệm này đều không thuộc miền xác định của hàm số vì chúng không làm cho mẫu số bằng 0. Do đó, đồ thị $(C)$ không cắt trục Ox. Kết luận: a) Tiệm cận đứng của đồ thị (C) có phương trình: $x = -1$ b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2, -1)$ và $(-1, 0)$. c) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x) = \frac{-x^2 + x + 1}{x + 1}$ trên $[2, 3]$ là $f(2) = -\frac{1}{3}$. d) Đồ thị $(C)$ không cắt trục Ox. Câu 70. a) Khi $m=0$, ta có $y=\frac{-x^2+2x-5}{x-1}$. Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{-x^2 + 2x - 5}{x - 1} = -x + 1 + \frac{-4}{x - 1} \] Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = -x + 1$. Đáp án đúng. b) Khi $m=0$, ta có $y=\frac{-x^2+2x-5}{x-1}$. Để tìm giao điểm với trục Ox, ta giải phương trình: \[ \frac{-x^2 + 2x - 5}{x - 1} = 0 \] Phương trình này tương đương với: \[ -x^2 + 2x - 5 = 0 \] Ta tính $\Delta = 2^2 - 4(-1)(-5) = 4 - 20 = -16 < 0$. Phương trình vô nghiệm, tức là đồ thị không cắt trục Ox. Đáp án đúng. c) Để hàm số có cực đại và cực tiểu, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số có hai nghiệm phân biệt. Ta tính đạo hàm của $y$: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{-x^2 + 2(m+1)x - m - 5}{x - 1}\right) \] Sử dụng quy tắc thương: \[ y' = \frac{(-2x + 2(m+1))(x-1) - (-x^2 + 2(m+1)x - m - 5)}{(x-1)^2} \] Rút gọn: \[ y' = \frac{-2x^2 + 2x + 2mx - 2m + 2x - 2 - (-x^2 + 2mx + 2x - m - 5)}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{-2x^2 + 2x + 2mx - 2m + 2x - 2 + x^2 - 2mx - 2x + m + 5}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{-x^2 + 2x - m + 3}{(x-1)^2} \] Để hàm số có cực đại và cực tiểu, ta cần: \[ -x^2 + 2x - m + 3 = 0 \] Tính $\Delta$: \[ \Delta = 2^2 - 4(-1)(-m + 3) = 4 - 4m + 12 = 16 - 4m \] Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ 16 - 4m > 0 \implies m < 4 \] Đáp án sai. d) Khi $m=0$, ta có $y=\frac{-x^2+2x-5}{x-1}$. Ta cần tìm điểm M trên đồ thị sao cho $x_M > 1$ và độ dài IM ngắn nhất, trong đó I là tâm đối xứng của đồ thị. Tâm đối xứng của đồ thị là $(1, -1)$. Ta viết lại phương trình: \[ y = -x + 1 + \frac{-4}{x-1} \] Độ dài IM ngắn nhất khi đạo hàm của khoảng cách từ M đến I bằng 0. Ta tính khoảng cách: \[ d = \sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2} \] Thay $y = -x + 1 + \frac{-4}{x-1}$ vào: \[ d = \sqrt{(x-1)^2 + \left(-x + 1 + \frac{-4}{x-1} + 1\right)^2} \] \[ d = \sqrt{(x-1)^2 + \left(-x + 2 + \frac{-4}{x-1}\right)^2} \] Đạo hàm $d$ theo $x$ và đặt bằng 0 để tìm giá trị $x$ tối ưu. Sau khi giải, ta tìm được $x_M > 1$ và $y_M < -4$. Đáp án đúng. Kết luận: Đáp án đúng là a, b, d. Câu 71. a. Tập xác định của hàm số $y=f(x)$ là $D=(-1;+\infty).$ b. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $y=f(x)$, ta tính đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = -\frac{20}{x+1} \] Đạo hàm $f'(x)$ luôn âm khi $x > -1$, do đó hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-1; +\infty)$. c) Ta giải bất phương trình $f(x) \geq 72$: \[ 92 - 20 \ln(x+1) \geq 72 \] \[ 20 \ln(x+1) \leq 20 \] \[ \ln(x+1) \leq 1 \] \[ x+1 \leq e \] \[ x \leq e - 1 \approx 1.718 \] Do đó, các nghiệm nguyên của bất phương trình này là $x = -1, 0, 1$. Vậy có đúng 3 nghiệm nguyên. d) Ta cần tìm giá trị của $t$ sao cho $f(t) = 50$: \[ 92 - 20 \ln(t+1) = 50 \] \[ 20 \ln(t+1) = 42 \] \[ \ln(t+1) = 2.1 \] \[ t+1 = e^{2.1} \approx 8.166 \] \[ t \approx 7.166 \] Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, ta có $t = 7$. Vậy phần trăm kiến thức sinh viên còn nhớ 50% khi $t = 7$. Câu 72. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đường tiệm cận của hàm số. 2. Tìm các giá trị của \( b \), \( c \), và \( n \) dựa trên các thông tin từ đồ thị. 3. Viết lại phương trình của hàm số. Bước 1: Xác định các đường tiệm cận - Đường tiệm cận đứng: \( d_1 \) là đường thẳng \( x = -1 \). Điều này cho thấy \( n = 1 \) vì đường tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{x^2 + bx + c}{x + n} \) là \( x = -n \). - Đường tiệm cận ngang: \( d_2 \) là đường thẳng \( y = 1 \). Điều này cho thấy khi \( x \to \infty \), \( y \to 1 \). Do đó, hệ số của \( x^2 \) trong tử số phải bằng hệ số của \( x \) trong mẫu số, tức là \( 1 \). Bước 2: Tìm các giá trị của \( b \), \( c \), và \( n \) - Từ \( n = 1 \), ta có hàm số \( y = \frac{x^2 + bx + c}{x + 1} \). - Để tìm \( b \) và \( c \), ta sử dụng điểm giao của đồ thị với trục \( Oy \). Điểm này là \( (0, -2) \). Thay vào phương trình hàm số: \[ y(0) = \frac{0^2 + b \cdot 0 + c}{0 + 1} = c = -2 \] Vậy \( c = -2 \). - Tiếp theo, ta sử dụng điểm giao của đồ thị với trục \( Ox \). Điểm này là \( (-2, 0) \). Thay vào phương trình hàm số: \[ y(-2) = \frac{(-2)^2 + b(-2) - 2}{-2 + 1} = 0 \] \[ \frac{4 - 2b - 2}{-1} = 0 \] \[ 4 - 2b - 2 = 0 \] \[ 2 - 2b = 0 \] \[ b = 1 \] Bước 3: Viết lại phương trình của hàm số Sau khi tìm được các giá trị của \( b \), \( c \), và \( n \), ta có phương trình của hàm số là: \[ y = \frac{x^2 + x - 2}{x + 1} \] Kết luận Hàm số đã cho là \( y = \frac{x^2 + x - 2}{x + 1} \). Các giá trị của \( b \), \( c \), và \( n \) lần lượt là \( b = 1 \), \( c = -2 \), và \( n = 1 \).