câu 7 tìm toạ độ vecto pháp tuyên

Câu 7: Để xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), ta cần kiểm tra các vectơ đã cho để xem chúng có cùng hướng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) hay không. Mặt phẳng (P) có phương trình là: \[ 4x - 2y + 2025 = 0 \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là: \[ \overrightarrow{n} = (4, -2, 0) \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng vectơ đã cho: A. \(\overrightarrow{n_1} = (4, -2, 2025)\) - Ta thấy rằng \(\overrightarrow{n_1}\) không cùng hướng với \(\overrightarrow{n}\) vì phần tử thứ ba của \(\overrightarrow{n_1}\) là 2025, trong khi phần tử thứ ba của \(\overrightarrow{n}\) là 0. B. \(\overrightarrow{n_3} = (-2, 1, 0)\) - Ta thấy rằng \(\overrightarrow{n_3}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{n}\) vì \(\overrightarrow{n_3} = -\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{n}\). C. \(\overrightarrow{n_4} = (1, 2, 0)\) - Ta thấy rằng \(\overrightarrow{n_4}\) không cùng hướng với \(\overrightarrow{n}\) vì phần tử thứ hai của \(\overrightarrow{n_4}\) là 2, trong khi phần tử thứ hai của \(\overrightarrow{n}\) là -2. D. \(\overrightarrow{n_2} = (2, 1, 0)\) - Ta thấy rằng \(\overrightarrow{n_2}\) không cùng hướng với \(\overrightarrow{n}\) vì phần tử thứ hai của \(\overrightarrow{n_2}\) là 1, trong khi phần tử thứ hai của \(\overrightarrow{n}\) là -2. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \[ \overrightarrow{n_3} = (-2, 1, 0) \] Đáp án đúng là: B. \(\overrightarrow{n_3} = (-2, 1, 0)\) Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về nguyên hàm và tích phân. Bước 1: Xác định nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Theo đề bài, hàm số $F(x) = x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Điều này có nghĩa là: \[ F'(x) = f(x) \] Bước 2: Tìm đạo hàm của $F(x)$ để xác định $f(x)$. \[ F(x) = x^2 \] \[ F'(x) = 2x \] Do đó, $f(x) = 2x$. Bước 3: Tính tích phân $\int^2_1 f(x) \, dx$. \[ \int^2_1 f(x) \, dx = \int^2_1 2x \, dx \] Bước 4: Áp dụng công thức tính tích phân. \[ \int^2_1 2x \, dx = 2 \int^2_1 x \, dx \] \[ = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^2_1 \] \[ = 2 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) \] \[ = 2 \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) \] \[ = 2 \left( 2 - \frac{1}{2} \right) \] \[ = 2 \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) \] \[ = 2 \left( \frac{3}{2} \right) \] \[ = 3 \] Vậy tích phân $\int^2_1 f(x) \, dx$ bằng 3. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 9: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng tích phân $\int^2_{-2}|f(x)|dx$ sẽ tính tổng diện tích của các phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=|f(x)|$ và trục hoành từ $x=-2$ đến $x=2$. Trong hình vẽ, ta thấy rằng: - $S_1$ là diện tích của phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và trục hoành từ $x=-2$ đến $x=0$. - $S_2$ là diện tích của phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và trục hoánh từ $x=0$ đến $x=2$. Khi ta tính tích phân $\int^2_{-2}|f(x)|dx$, ta sẽ tính tổng diện tích của hai phần hình phẳng này, nhưng vì $|f(x)|$ đảm bảo rằng tất cả các giá trị đều dương, nên diện tích sẽ là tổng của $S_1$ và $S_2$. Do đó, tích phân $\int^2_{-2}|f(x)|dx$ bằng $S_1 + S_2$. Đáp án đúng là: $B.~S_1+S_2.$ Câu 10: Để tìm đường kính của mặt cầu (S) từ phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 6z - 2 = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương. Ta nhóm các hạng tử liên quan đến mỗi biến lại: \[ x^2 - 2x + y^2 - 4y + z^2 + 6z = 2 \] Bước 2: Hoàn thành bình phương cho từng nhóm. \[ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 + 6z + 9) = 2 + 1 + 4 + 9 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = 16 \] Bước 3: So sánh với phương trình chuẩn của mặt cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$. Từ đó, ta nhận thấy tâm của mặt cầu là $(1, 2, -3)$ và bán kính $R = \sqrt{16} = 4$. Bước 4: Tính đường kính của mặt cầu. Đường kính của mặt cầu là $2R = 2 \times 4 = 8$. Vậy đáp án đúng là: A. 8. Đáp số: A. 8. Câu 11: Để kiểm tra xem điểm nào thuộc đường thẳng \(d\), ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình tham số của đường thẳng và kiểm tra xem có tồn tại giá trị của tham số \(t\) sao cho các phương trình đều đúng. Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + t \\ y = 1 + 3t \\ z = -3 - t \end{array} \right. \] Ta sẽ kiểm tra từng điểm: 1. Kiểm tra điểm \(M(1, -1, 3)\): - Thay \(x = 1\) vào phương trình \(x = -1 + t\): \[ 1 = -1 + t \implies t = 2 \] - Thay \(t = 2\) vào phương trình \(y = 1 + 3t\): \[ y = 1 + 3 \cdot 2 = 1 + 6 = 7 \neq -1 \] - Do đó, điểm \(M\) không thuộc đường thẳng \(d\). 2. Kiểm tra điểm \(N(0, -2, -2)\): - Thay \(x = 0\) vào phương trình \(x = -1 + t\): \[ 0 = -1 + t \implies t = 1 \] - Thay \(t = 1\) vào phương trình \(y = 1 + 3t\): \[ y = 1 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4 \neq -2 \] - Do đó, điểm \(N\) không thuộc đường thẳng \(d\). 3. Kiểm tra điểm \(Q(0, 4, -4)\): - Thay \(x = 0\) vào phương trình \(x = -1 + t\): \[ 0 = -1 + t \implies t = 1 \] - Thay \(t = 1\) vào phương trình \(y = 1 + 3t\): \[ y = 1 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4 \] - Thay \(t = 1\) vào phương trình \(z = -3 - t\): \[ z = -3 - 1 = -4 \] - Do đó, điểm \(Q\) thuộc đường thẳng \(d\). 4. Kiểm tra điểm \(P(0, -4, 4)\): - Thay \(x = 0\) vào phương trình \(x = -1 + t\): \[ 0 = -1 + t \implies t = 1 \] - Thay \(t = 1\) vào phương trình \(y = 1 + 3t\): \[ y = 1 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4 \neq -4 \] - Do đó, điểm \(P\) không thuộc đường thẳng \(d\). Kết luận: Điểm \(Q(0, 4, -4)\) thuộc đường thẳng \(d\). Đáp án: C. \(Q(0, 4, -4)\). Câu 12: Để tính quãng đường \( s \) mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm \( t = 0 \) đến thời điểm vật dừng lại, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định thời điểm vật dừng lại: - Vật dừng lại khi vận tốc \( v(t) = 0 \). - Ta có phương trình: \[ 160 - 10t = 0 \] - Giải phương trình này: \[ 10t = 160 \\ t = 16 \text{ (giây)} \] 2. Tính quãng đường \( s \) mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 16 \) giây: - Quãng đường \( s \) được tính bằng tích phân của vận tốc theo thời gian: \[ s = \int_{0}^{16} v(t) \, dt \] - Thay \( v(t) = 160 - 10t \) vào: \[ s = \int_{0}^{16} (160 - 10t) \, dt \] - Tính tích phân: \[ s = \left[ 160t - 5t^2 \right]_{0}^{16} \] - Đánh giá tại các cận: \[ s = \left( 160 \cdot 16 - 5 \cdot 16^2 \right) - \left( 160 \cdot 0 - 5 \cdot 0^2 \right) \] \[ s = (2560 - 1280) - 0 \] \[ s = 1280 \text{ (mét)} \] Vậy quãng đường mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm \( t = 0 \) đến thời điểm vật dừng lại là \( 1280 \text{ mét} \). Đáp án đúng là: \( D.~s=1280~m \). Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: Phần a) Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x = -\frac{\pi}{2}$ và $x = \frac{\pi}{2}$: - $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(2 \cdot -\frac{\pi}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos(-\pi) + \frac{\pi}{2} = -1 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1$ - $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} = \cos(\pi) - \frac{\pi}{2} = -1 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} - 1$ Phần b) Tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = \cos(2x) - x$: - $f'(x) = \frac{d}{dx}[\cos(2x)] - \frac{d}{dx}[x] = -2\sin(2x) - 1$ Phần c) Giải phương trình $f'(x) = 0$: - $-2\sin(2x) - 1 = 0$ - $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$ - Các nghiệm của phương trình $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$ trong khoảng $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ là: - $2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ hoặc $2x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$ - $x = -\frac{\pi}{12} + k\pi$ hoặc $x = \frac{7\pi}{12} + k\pi$ - Trong khoảng $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, ta có hai nghiệm là $x = -\frac{\pi}{12}$ và $x = \frac{5\pi}{12}$ Phần d) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$: - Ta đã tính được các giá trị của hàm số tại các điểm biên và các điểm cực trị: - $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - 1$ - $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} - 1$ - $f\left(-\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12}$ - $f\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) - \frac{5\pi}{12} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12}$ - So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất là $-\frac{\pi}{2} - 1$. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ là $-\frac{\pi}{2} - 1$. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của đường parabol và đoạn thẳng. 2. Tính quãng đường vật đã đi trong thời gian 3 giây. Bước 1: Xác định phương trình của đường parabol và đoạn thẳng Đường parabol: - Đồ thị của vận tốc \( v(t) \) là một phần của đường parabol có đỉnh tại \( t = 1 \) giây. - Ta giả sử phương trình của đường parabol là \( v(t) = a(t - 1)^2 + b \). Từ đồ thị, ta thấy rằng: - Khi \( t = 0 \), \( v(0) = 0 \). - Khi \( t = 2 \), \( v(2) = 0 \). Thay vào phương trình: \[ v(0) = a(0 - 1)^2 + b = a + b = 0 \] \[ v(2) = a(2 - 1)^2 + b = a + b = 0 \] Từ hai phương trình trên, ta có: \[ a + b = 0 \] \[ a + b = 0 \] Do đó, ta có \( b = -a \). Thay vào phương trình ban đầu: \[ v(t) = a(t - 1)^2 - a \] Ta biết rằng khi \( t = 1 \), \( v(1) = 4 \): \[ v(1) = a(1 - 1)^2 - a = -a = 4 \] \[ a = -4 \] Vậy phương trình của đường parabol là: \[ v(t) = -4(t - 1)^2 + 4 \] Đoạn thẳng: - Từ \( t = 2 \) đến \( t = 3 \), đồ thị là đoạn thẳng song song với trục hoành, tức là vận tốc không đổi. - Vận tốc tại \( t = 2 \) là 0, do đó vận tốc tại mọi thời điểm từ \( t = 2 \) đến \( t = 3 \) cũng là 0. Bước 2: Tính quãng đường vật đã đi trong thời gian 3 giây Từ \( t = 0 \) đến \( t = 2 \): Quãng đường \( s_1 \) vật đi trong thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 2 \) là: \[ s_1 = \int_{0}^{2} v(t) \, dt = \int_{0}^{2} [-4(t - 1)^2 + 4] \, dt \] Tính tích phân: \[ s_1 = \left[ -\frac{4}{3}(t - 1)^3 + 4t \right]_{0}^{2} \] \[ s_1 = \left( -\frac{4}{3}(2 - 1)^3 + 4 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{4}{3}(0 - 1)^3 + 4 \cdot 0 \right) \] \[ s_1 = \left( -\frac{4}{3} + 8 \right) - \left( \frac{4}{3} \right) \] \[ s_1 = 8 - \frac{4}{3} - \frac{4}{3} \] \[ s_1 = 8 - \frac{8}{3} \] \[ s_1 = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} \] \[ s_1 = \frac{16}{3} \] Từ \( t = 2 \) đến \( t = 3 \): Quãng đường \( s_2 \) vật đi trong thời gian từ \( t = 2 \) đến \( t = 3 \) là: \[ s_2 = \int_{2}^{3} v(t) \, dt = \int_{2}^{3} 0 \, dt = 0 \] Tổng quãng đường: \[ s = s_1 + s_2 = \frac{16}{3} + 0 = \frac{16}{3} \] Vậy quãng đường vật đã đi trong thời gian 3 giây là: \[ \boxed{\frac{16}{3}} \]