giúp mink vs

c) Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = -1 \\ x - y = -3 \end{array} \right. \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (x - 2y) - (x - y) = -1 - (-3) \] \[ x - 2y - x + y = -1 + 3 \] \[ -y = 2 \] \[ y = -2 \] Thay \( y = -2 \) vào phương trình \( x - y = -3 \): \[ x - (-2) = -3 \] \[ x + 2 = -3 \] \[ x = -3 - 2 \] \[ x = -5 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (-5, -2) \). d) Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 1 \\ -3x + 2y = 6 \end{array} \right. \] Cộng hai phương trình lại: \[ (x - 2y) + (-3x + 2y) = 1 + 6 \] \[ x - 2y - 3x + 2y = 7 \] \[ -2x = 7 \] \[ x = -\frac{7}{2} \] Thay \( x = -\frac{7}{2} \) vào phương trình \( x - 2y = 1 \): \[ -\frac{7}{2} - 2y = 1 \] \[ -2y = 1 + \frac{7}{2} \] \[ -2y = \frac{2}{2} + \frac{7}{2} \] \[ -2y = \frac{9}{2} \] \[ y = -\frac{9}{4} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = \left(-\frac{7}{2}, -\frac{9}{4}\right) \). e) Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x + 7y = 12 \\ -3x - 7y = -17 \end{array} \right. \] Cộng hai phương trình lại: \[ (2x + 7y) + (-3x - 7y) = 12 + (-17) \] \[ 2x + 7y - 3x - 7y = -5 \] \[ -x = -5 \] \[ x = 5 \] Thay \( x = 5 \) vào phương trình \( 2x + 7y = 12 \): \[ 2(5) + 7y = 12 \] \[ 10 + 7y = 12 \] \[ 7y = 12 - 10 \] \[ 7y = 2 \] \[ y = \frac{2}{7} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = \left(5, \frac{2}{7}\right) \). g) Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 5x + y = -2 \\ -5x + 3y = 10 \end{array} \right. \] Cộng hai phương trình lại: \[ (5x + y) + (-5x + 3y) = -2 + 10 \] \[ 5x + y - 5x + 3y = 8 \] \[ 4y = 8 \] \[ y = 2 \] Thay \( y = 2 \) vào phương trình \( 5x + y = -2 \): \[ 5x + 2 = -2 \] \[ 5x = -2 - 2 \] \[ 5x = -4 \] \[ x = -\frac{4}{5} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = \left(-\frac{4}{5}, 2\right) \). h) Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 4x + 3y = -7 \\ -2x + y = -4 \end{array} \right. \] Nhân phương trình thứ hai với 2: \[ -4x + 2y = -8 \] Cộng hai phương trình lại: \[ (4x + 3y) + (-4x + 2y) = -7 + (-8) \] \[ 4x + 3y - 4x + 2y = -15 \] \[ 5y = -15 \] \[ y = -3 \] Thay \( y = -3 \) vào phương trình \( -2x + y = -4 \): \[ -2x - 3 = -4 \] \[ -2x = -4 + 3 \] \[ -2x = -1 \] \[ x = \frac{1}{2} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = \left(\frac{1}{2}, -3\right) \). k) Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{3}x - \sqrt{2}y = 1 \\ 5\sqrt{3}x - 4\sqrt{2}y = 8 \end{array} \right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 4: \[ 4\sqrt{3}x - 4\sqrt{2}y = 4 \] Trừ phương trình này từ phương trình thứ hai: \[ (5\sqrt{3}x - 4\sqrt{2}y) - (4\sqrt{3}x - 4\sqrt{2}y) = 8 - 4 \] \[ 5\sqrt{3}x - 4\sqrt{2}y - 4\sqrt{3}x + 4\sqrt{2}y = 4 \] \[ \sqrt{3}x = 4 \] \[ x = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \] Thay \( x = \frac{4\sqrt{3}}{3} \) vào phương trình \( \sqrt{3}x - \sqrt{2}y = 1 \): \[ \sqrt{3}\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right) - \sqrt{2}y = 1 \] \[ 4 - \sqrt{2}y = 1 \] \[ -\sqrt{2}y = 1 - 4 \] \[ -\sqrt{2}y = -3 \] \[ y = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \). Bài 7. $a)\left\{\begin{array}l(x+1)(y-1)=xy-1\\(x-3)(y-3)=xy-3\end{array}\right.$ Ta có: $(x+1)(y-1)=xy-1$ $\Rightarrow xy-x+y-1=xy-1$ $\Rightarrow -x+y=0$ $\Rightarrow y=x$ (1) Lại có: $(x-3)(y-3)=xy-3$ $\Rightarrow xy-3x-3y+9=xy-3$ $\Rightarrow -3x-3y=-12$ $\Rightarrow x+y=4$ (2) Thay (1) vào (2) ta được: $x+x=4$ $2x=4$ $x=2$ Vậy $x=y=2$ $b)\left\{\begin{array}l(x-1)(y+3)=xy+27\\(x-2)(y+1)=xy+8\end{array}\right.$ Ta có: $(x-1)(y+3)=xy+27$ $\Rightarrow xy+3x-y-3=xy+27$ $\Rightarrow 3x-y=30$ (1) Lại có: $(x-2)(y+1)=xy+8$ $\Rightarrow xy+x-2y-2=xy+8$ $\Rightarrow x-2y=10$ (2) Nhân (2) với 3 rồi trừ cho (1) ta được: $(3x-6y)-(3x-y)=30-30$ $-5y=0$ $y=0$ Thay $y=0$ vào (1) ta được: $3x-0=30$ $3x=30$ $x=10$ Vậy $x=10; y=0$ Bài 8. Để giải các hệ phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng trừ để tìm giá trị của các ẩn số. Câu a) $\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -1 \\ \frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 7 \end{array}\right.$ Gọi $\frac{1}{x} = u$ và $\frac{1}{y} = v$. Hệ phương trình trở thành: $\left\{\begin{array}{l} u + v = -1 \\ 3u - 2v = 7 \end{array}\right.$ Bây giờ, chúng ta sẽ nhân phương trình đầu tiên với 2 rồi cộng với phương trình thứ hai: $2(u + v) + (3u - 2v) = 2(-1) + 7$ $2u + 2v + 3u - 2v = -2 + 7$ $5u = 5$ $u = 1$ Thay $u = 1$ vào phương trình $u + v = -1$: $1 + v = -1$ $v = -2$ Do đó, $\frac{1}{x} = 1$ và $\frac{1}{y} = -2$, suy ra $x = 1$ và $y = -\frac{1}{2}$. Câu b) $\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x+y} + \frac{2}{x-y} = 3 \\ \frac{3}{x+y} - \frac{5}{x-y} = -2 \end{array}\right.$ Gọi $\frac{1}{x+y} = u$ và $\frac{1}{x-y} = v$. Hệ phương trình trở thành: $\left\{\begin{array}{l} u + 2v = 3 \\ 3u - 5v = -2 \end{array}\right.$ Nhân phương trình đầu tiên với 3 rồi trừ phương trình thứ hai: $3(u + 2v) - (3u - 5v) = 3(3) - (-2)$ $3u + 6v - 3u + 5v = 9 + 2$ $11v = 11$ $v = 1$ Thay $v = 1$ vào phương trình $u + 2v = 3$: $u + 2(1) = 3$ $u + 2 = 3$ $u = 1$ Do đó, $\frac{1}{x+y} = 1$ và $\frac{1}{x-y} = 1$, suy ra $x + y = 1$ và $x - y = 1$. Giải hệ phương trình này: $\left\{\begin{array}{l} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{array}\right.$ Cộng hai phương trình: $(x + y) + (x - y) = 1 + 1$ $2x = 2$ $x = 1$ Thay $x = 1$ vào phương trình $x + y = 1$: $1 + y = 1$ $y = 0$ Đáp số: $a) x = 1, y = -\frac{1}{2}$ $b) x = 1, y = 0$ Bài 9. Để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} 2x + by = 5 \\ ax + by = 7 \end{array}\right.$ có nghiệm $(x, y) = (-1, 1)$, ta thay giá trị của $x$ và $y$ vào hệ phương trình. Thay $x = -1$ và $y = 1$ vào phương trình đầu tiên: \[2(-1) + b(1) = 5\] \[-2 + b = 5\] \[b = 5 + 2\] \[b = 7\] Thay $x = -1$ và $y = 1$ vào phương trình thứ hai: \[a(-1) + b(1) = 7\] \[-a + b = 7\] \[-a + 7 = 7\] \[-a = 7 - 7\] \[-a = 0\] \[a = 0\] Vậy giá trị của $a$ và $b$ là $a = 0$ và $b = 7$. Bài 10. Để ba đường thẳng $(d_1)$, $(d_2)$ và $(d_3)$ đồng quy tại một điểm, điểm giao của $(d_1)$ và $(d_2)$ phải nằm trên $(d_3)$. Bước 1: Tìm giao điểm của $(d_1)$ và $(d_2)$. Ta có: $(d_1):~x - 2y = 1$ $(d_2):~x + y = -2$ Giải hệ phương trình này: Từ $(d_2)$, ta có: $x = -2 - y$. Thay vào $(d_1)$: $(-2 - y) - 2y = 1$ $-2 - y - 2y = 1$ $-3y = 3$ $y = -1$ Thay $y = -1$ vào $(d_2)$: $x + (-1) = -2$ $x = -1$ Vậy giao điểm của $(d_1)$ và $(d_2)$ là $(-1, -1)$. Bước 2: Thay tọa độ giao điểm vào phương trình $(d_3)$ để xác định giá trị của $m$. Phương trình $(d_3)$ là: $y = -3x + m$. Thay $x = -1$ và $y = -1$ vào $(d_3)$: $-1 = -3(-1) + m$ $-1 = 3 + m$ $m = -4$ Vậy giá trị của $m$ để ba đường thẳng đồng quy tại một điểm là $m = -4$. Bài 11. a) Ta có: - Đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $A(-2; 1)$, suy ra $1 = -2a + b$ (1) - Đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $B(-1; 2)$, suy ra $2 = -a + b$ (2) Lấy (2) trừ (1): \[ (-a + b) - (-2a + b) = 2 - 1 \] \[ -a + b + 2a - b = 1 \] \[ a = 1 \] Thay $a = 1$ vào (2): \[ 2 = -1 + b \] \[ b = 3 \] Vậy $a = 1$ và $b = 3$. b) Ta có: - Đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $A(1; -3)$, suy ra $-3 = a + b$ (1) - Đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $B(3; 2)$, suy ra $2 = 3a + b$ (2) Lấy (2) trừ (1): \[ (3a + b) - (a + b) = 2 - (-3) \] \[ 3a + b - a - b = 5 \] \[ 2a = 5 \] \[ a = \frac{5}{2} \] Thay $a = \frac{5}{2}$ vào (1): \[ -3 = \frac{5}{2} + b \] \[ b = -3 - \frac{5}{2} \] \[ b = -\frac{6}{2} - \frac{5}{2} \] \[ b = -\frac{11}{2} \] Vậy $a = \frac{5}{2}$ và $b = -\frac{11}{2}$. c) Ta có: - Đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $A(1; -3)$, suy ra $-3 = a + b$ (1) - Đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $B(-2; 3)$, suy ra $3 = -2a + b$ (2) Lấy (2) trừ (1): \[ (-2a + b) - (a + b) = 3 - (-3) \] \[ -2a + b - a - b = 6 \] \[ -3a = 6 \] \[ a = -2 \] Thay $a = -2$ vào (1): \[ -3 = -2 + b \] \[ b = -3 + 2 \] \[ b = -1 \] Vậy $a = -2$ và $b = -1$. Bài 12. Để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x + y = 3 \\ ax - 3y = -1\end{array}\right.$ có nghiệm nguyên dương, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Giải phương trình đầu tiên để tìm y theo x: \[ y = 3 - 2x \] Bước 2: Thay \( y = 3 - 2x \) vào phương trình thứ hai: \[ ax - 3(3 - 2x) = -1 \] \[ ax - 9 + 6x = -1 \] \[ (a + 6)x = 8 \] Bước 3: Để hệ phương trình có nghiệm nguyên dương, \( x \) phải là số nguyên dương và \( y \) cũng phải là số nguyên dương. Do đó, \( (a + 6)x = 8 \) phải có \( x \) là số nguyên dương và \( a + 6 \) phải là ước của 8. Các ước của 8 là: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \). Ta xét từng trường hợp: - \( a + 6 = 1 \Rightarrow a = -5 \) - \( a + 6 = 2 \Rightarrow a = -4 \) - \( a + 6 = 4 \Rightarrow a = -2 \) - \( a + 6 = 8 \Rightarrow a = 2 \) Bước 4: Kiểm tra các giá trị \( a \) để đảm bảo \( x \) và \( y \) đều là số nguyên dương: - \( a = -5 \): \( (a + 6)x = 8 \Rightarrow x = 8 \). Thay vào \( y = 3 - 2x = 3 - 2 \times 8 = -13 \) (không thỏa mãn vì \( y \) không dương). - \( a = -4 \): \( (a + 6)x = 8 \Rightarrow x = 4 \). Thay vào \( y = 3 - 2x = 3 - 2 \times 4 = -5 \) (không thỏa mãn vì \( y \) không dương). - \( a = -2 \): \( (a + 6)x = 8 \Rightarrow x = 2 \). Thay vào \( y = 3 - 2x = 3 - 2 \times 2 = -1 \) (không thỏa mãn vì \( y \) không dương). - \( a = 2 \): \( (a + 6)x = 8 \Rightarrow x = 1 \). Thay vào \( y = 3 - 2x = 3 - 2 \times 1 = 1 \) (thỏa mãn vì \( x \) và \( y \) đều dương). Vậy, giá trị nguyên của \( a \) để hệ phương trình có nghiệm nguyên dương là \( a = 2 \). Đáp số: \( a = 2 \). Bài 13. Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ (điều kiện: $a > 0$, $b \geq 0$). Theo đề bài ta có: - Tổng hai chữ số là 15: $a + b = 15$ - Đổi chỗ chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì được số mới lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị: $\overline{ba} = \overline{ab} + 27$ Ta có phương trình: \[10b + a = 10a + b + 27\] Rearrange the equation: \[10b + a - 10a - b = 27\] \[9b - 9a = 27\] \[b - a = 3\] Bây giờ ta có hệ phương trình: \[a + b = 15\] \[b - a = 3\] Cộng hai phương trình lại: \[2b = 18\] \[b = 9\] Thay $b = 9$ vào phương trình $a + b = 15$: \[a + 9 = 15\] \[a = 6\] Vậy số cần tìm là $\overline{ab} = 69$. Bài 14. Gọi số tờ tiền loại 20 000 đồng là x (tờ, điều kiện: x ≥ 0) Số tờ tiền loại 50 000 đồng là 7 - x (tờ) Tổng số tiền mua vở là 260 000 đồng, ta có phương trình: 20 000 × x + 50 000 × (7 - x) = 260 000 20 000x + 350 000 - 50 000x = 260 000 -30 000x = 260 000 - 350 000 -30 000x = -90 000 x = 3 Vậy số tờ tiền loại 20 000 đồng là 3 tờ, số tờ tiền loại 50 000 đồng là 7 - 3 = 4 tờ. Bài 15. Gọi số mũi tên đạt 9 điểm là x (mũi tên, điều kiện: x ≥ 0) Số mũi tên đạt 10 điểm là 30 - x (mũi tên) Tổng số điểm là: 9 × x + 10 × (30 - x) = 287 9x + 300 - 10x = 287 - x + 300 = 287 x = 300 - 287 x = 13 Số mũi tên đạt 10 điểm là: 30 - 13 = 17 (mũi tên) Đáp số: 13 mũi tên đạt 9 điểm, 17 mũi tên đạt 10 điểm.