Lm nhanh vs ạ🥹🥹🥹🥹

Để chứng minh rằng \( A < \frac{5}{32} \), chúng ta sẽ phân tích biểu thức \( A \) và so sánh nó với \( \frac{5}{32} \). Biểu thức \( A \) được viết dưới dạng: \[ A = \frac{1}{3^2} + \frac{3}{3^4} + \frac{5}{3^6} + \ldots + \frac{99}{3^{100}} \] Chúng ta sẽ so sánh từng phân số trong biểu thức \( A \) với các phân số khác để dễ dàng hơn trong việc chứng minh. Nhận thấy rằng: \[ \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \] \[ \frac{3}{3^4} = \frac{3}{81} = \frac{1}{27} \] \[ \frac{5}{3^6} = \frac{5}{729} \] \[ \vdots \] \[ \frac{99}{3^{100}} = \frac{99}{3^{100}} \] Chúng ta nhận thấy rằng các phân số này đều nhỏ hơn hoặc bằng phân số tương ứng trong dãy số \( \frac{1}{3^2}, \frac{1}{3^4}, \frac{1}{3^6}, \ldots, \frac{1}{3^{100}} \). Do đó, ta có thể so sánh \( A \) với tổng của dãy số \( \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{3^6} + \ldots + \frac{1}{3^{100}} \). Tổng của dãy số \( \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{3^6} + \ldots + \frac{1}{3^{100}} \) là một dãy số lũy thừa giảm dần. Ta có thể tính tổng của dãy số này bằng công thức tổng của dãy số lũy thừa giảm dần: \[ S = \frac{\frac{1}{9}(1 - (\frac{1}{9})^{50})}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{1}{9}(1 - \frac{1}{9^{50}})}{\frac{8}{9}} = \frac{1 - \frac{1}{9^{50}}}{8} \] Vì \( \frac{1}{9^{50}} \) rất nhỏ, gần như bằng 0, nên ta có thể xấp xỉ: \[ S \approx \frac{1}{8} \] Do đó, ta có: \[ A < \frac{1}{8} \] Ta cần chứng minh rằng \( \frac{1}{8} < \frac{5}{32} \): \[ \frac{1}{8} = \frac{4}{32} \] \[ \frac{4}{32} < \frac{5}{32} \] Vậy ta đã chứng minh được rằng: \[ A < \frac{5}{32} \] Đáp số: \( A < \frac{5}{32} \)