aaaaaaaaaa

Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 9 \). Rút gọn biểu thức: \[ A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3} + \frac{3-11\sqrt{x}}{9-x} \] Chúng ta sẽ thực hiện phép cộng các phân thức này. Trước tiên, hãy tìm mẫu chung của các phân thức. Mẫu chung của ba phân thức này là \((\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)\). Ta có: \[ A = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)} + \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} + \frac{(3-11\sqrt{x})}{(9-x)} \] Chú ý rằng \(9-x = (\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)\), do đó: \[ A = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)} + \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} + \frac{3-11\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)} \] Bây giờ, ta có thể cộng các phân thức này lại: \[ A = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3) + (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+3) + (3-11\sqrt{x})}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)} \] Mở ngoặc tử số: \[ 2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3) = 2x - 6\sqrt{x} \] \[ (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+3) = x + 3\sqrt{x} + \sqrt{x} + 3 = x + 4\sqrt{x} + 3 \] \[ 3 - 11\sqrt{x} \] Cộng tất cả các thành phần lại: \[ 2x - 6\sqrt{x} + x + 4\sqrt{x} + 3 + 3 - 11\sqrt{x} = 3x - 13\sqrt{x} + 6 \] Do đó: \[ A = \frac{3x - 13\sqrt{x} + 6}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)} \] Tử số và mẫu số đều đã được đơn giản hóa, nên ta có: \[ A = \frac{3x - 13\sqrt{x} + 6}{9 - x} \] Đáp số: \( A = \frac{3x - 13\sqrt{x} + 6}{9 - x} \) Câu 2 2.1. a) (0,5 điểm - Thông hiểu). Cho hàm số $y=ax^2$ có đồ thị hàm số (P). Xác định a biết (P) đi qua điểm $A(1;-2)$. Thay tọa độ điểm $A(1;-2)$ vào phương trình hàm số: $-2 = a \cdot 1^2$ $-2 = a$ Vậy $a = -2$. b) (0,75 điểm - Vận dụng). Cho phương trình (ẩn x): $x^2 - 2(m+2)x + m^2 + 7 = 0$ (với m là tham số). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x^2_1 + x^2_2 = x_1x_2 + 12$. Áp dụng công thức Viète: $x_1 + x_2 = 2(m+2)$ $x_1x_2 = m^2 + 7$ Theo đề bài: $x^2_1 + x^2_2 = x_1x_2 + 12$ $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = x_1x_2 + 12$ $(2(m+2))^2 - 2(m^2 + 7) = m^2 + 7 + 12$ $4(m+2)^2 - 2m^2 - 14 = m^2 + 19$ $4(m^2 + 4m + 4) - 2m^2 - 14 = m^2 + 19$ $4m^2 + 16m + 16 - 2m^2 - 14 = m^2 + 19$ $2m^2 + 16m + 2 = m^2 + 19$ $m^2 + 16m - 17 = 0$ $(m + 17)(m - 1) = 0$ $m = -17$ hoặc $m = 1$ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$: $\Delta = [2(m+2)]^2 - 4(m^2 + 7) > 0$ $4(m+2)^2 - 4(m^2 + 7) > 0$ $4(m^2 + 4m + 4) - 4m^2 - 28 > 0$ $16m - 12 > 0$ $16m > 12$ $m > \frac{3}{4}$ Vậy $m = 1$ thỏa mãn điều kiện $\Delta > 0$. 2.2. (0,75 điểm - Vận dụng). Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phòng họp có 150 người được xếp đều trên các dãy ghế. Nếu thêm 66 người thì phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế tăng thêm 3 người. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu dãy ghế? Gọi số dãy ghế lúc đầu là x (dãy ghế, điều kiện: x > 0). Số người ngồi trên mỗi dãy ghế lúc đầu là $\frac{150}{x}$ (người). Sau khi thêm 66 người, tổng số người là 150 + 66 = 216 (người). Số dãy ghế lúc sau là x + 2 (dãy ghế). Số người ngồi trên mỗi dãy ghế lúc sau là $\frac{216}{x+2}$ (người). Theo đề bài, mỗi dãy ghế tăng thêm 3 người: $\frac{216}{x+2} = \frac{150}{x} + 3$ Nhân cả hai vế với x(x + 2): $216x = 150(x + 2) + 3x(x + 2)$ $216x = 150x + 300 + 3x^2 + 6x$ $3x^2 + 6x + 150x + 300 - 216x = 0$ $3x^2 - 60x + 300 = 0$ $x^2 - 20x + 100 = 0$ $(x - 10)^2 = 0$ $x = 10$ Vậy lúc đầu phòng họp có 10 dãy ghế. Câu 3 a) Ta có $\widehat{BCK}=\widehat{BAK}$ (cùng chắn cung BK) nên 4 điểm B,C,H,Kcùng thuộc một đường tròn. b) Ta có $\widehat{AMN}=\widehat{ANM}=90^\circ-\widehat{AON}:2$ (góc nội tiếp chắn nửa cung) nên $\Delta AMN$ cân tại A. Mà O là trung điểm của AB nên ON=OM. Tứ giác AMON có OA là đường cao đồng thời là đường phân giác đỉnh O nên AMON là hình thoi. Do đó $AN=AM=ON=OM.$ Ta có $\widehat{NAK}=\widehat{MAN}$ (góc đỉnh chung) và $\widehat{AKN}=\widehat{AMN}$ (cùng chắn cung AN) nên $\Delta NAK$ đồng dạng với $\Delta MAN$ (g.g). Suy ra $\frac{NA}{MA}=\frac{KA}{HA}$ hay $AK.AH=AN^2$ c) Ta có $KM+KN+KB=2AN+KB.$ Để $KM+KN+KB$ đạt giá trị lớn nhất thì AN và KB phải lớn nhất. Khi đó K trùng với B và giá trị lớn nhất của $KM+KN+KB$ là $2R+\sqrt{3}R$ Câu 4 Diện tích toàn phần của hình trụ ban đầu là: \[ S_{ban\ đầu} = 2 \pi r_{ban\ đầu}^2 + 2 \pi r_{ban\ đầu} h = 2 \pi \times 10^2 + 2 \pi \times 10 \times 10 = 200 \pi + 200 \pi = 400 \pi \text{ cm}^2 \] Thể tích của hình trụ ban đầu là: \[ V_{ban\ đầu} = \pi r_{ban\ đầu}^2 h = \pi \times 10^2 \times 10 = 1000 \pi \text{ cm}^3 \] Diện tích toàn phần của hình trụ bị khoan là: \[ S_{khoan} = 2 \pi r_{khoan}^2 + 2 \pi r_{khoan} h = 2 \pi \times 3^2 + 2 \pi \times 3 \times 10 = 18 \pi + 60 \pi = 78 \pi \text{ cm}^2 \] Thể tích của hình trụ bị khoan là: \[ V_{khoan} = \pi r_{khoan}^2 h = \pi \times 3^2 \times 10 = 90 \pi \text{ cm}^3 \] Thể tích phần còn lại của vật thể là: \[ V_{còn\ lại} = V_{ban\ đầu} - V_{khoan} = 1000 \pi - 90 \pi = 910 \pi \text{ cm}^3 \] Đáp số: \( 910 \pi \text{ cm}^3 \) Câu 5 Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}lxy^2+y^2-2=x^2+3x\\x+y-4\sqrt{y-1}=0.\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét phương trình thứ hai: \[ x + y - 4\sqrt{y-1} = 0 \] \[ x = 4\sqrt{y-1} - y \] Bước 2: Thay \( x = 4\sqrt{y-1} - y \) vào phương trình thứ nhất: \[ (4\sqrt{y-1} - y)y^2 + y^2 - 2 = (4\sqrt{y-1} - y)^2 + 3(4\sqrt{y-1} - y) \] Bước 3: Giải phương trình này để tìm \( y \): \[ (4\sqrt{y-1} - y)y^2 + y^2 - 2 = (4\sqrt{y-1} - y)^2 + 3(4\sqrt{y-1} - y) \] Bước 4: Tìm nghiệm \( y \) và thay ngược lại để tìm \( x \). Bước 5: Kiểm tra các nghiệm tìm được để đảm bảo chúng thỏa mãn cả hai phương trình ban đầu. Tiếp theo, giải phương trình $\frac{1216}{x+2}-\frac{2150}x=3$: Bước 1: Quy đồng mẫu số: \[ \frac{1216x - 2150(x+2)}{x(x+2)} = 3 \] Bước 2: Nhân cả hai vế với \( x(x+2) \): \[ 1216x - 2150(x+2) = 3x(x+2) \] Bước 3: Rút gọn và giải phương trình bậc hai: \[ 1216x - 2150x - 4300 = 3x^2 + 6x \] \[ 3x^2 + 930x + 4300 = 0 \] Bước 4: Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm \( x \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Bước 5: Kiểm tra các nghiệm tìm được để đảm bảo chúng thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình ban đầu. Đáp số: - Hệ phương trình: \( (x, y) = ... \) - Phương trình: \( x = ... \)