Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao AD,BE,CF của tam giác cắt nhau tại H.

a. Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp

Question

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao AD,BE,CF của tam giác cắt nhau tại H.

a. Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5237113,"userName":"Trà My"}

a. Chứng minh tứ giác $BCEF$ nội tiếp:

Xét tứ giác $BCEF$, ta có:

$\widehat{BEC} = 90^\circ$ (vì $BE$ là đường cao của tam giác $ABC$)

$\widehat{BFC} = 90^\circ$ (vì $CF$ là đường cao của tam giác $ABC$)

Suy ra: $\widehat{BEC} = \widehat{BFC} = 90^\circ$

Hai đỉnh $E$ và $F$ kề nhau cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc $90^\circ$

Vậy tứ giác $BCEF$ nội tiếp (điều phải chứng minh).

Timi · Answer

a. Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp.

- Xét tam giác ABE và tam giác ACF:
  + Góc BAE và góc CAF là góc chung.
  + Góc AEB và góc AFC đều là góc vuông (vì BE và CF là đường cao).
  Do đó, tam giác ABE và tam giác ACF đồng dạng theo trường hợp góc - góc (g-g).

- Từ đó ta có:
  + Góc ABE = góc ACF (góc tương ứng trong tam giác đồng dạng).

- Xét tứ giác BCEF:
  + Góc EBF và góc ECF là hai góc nội tiếp chắn cung EF.
  + Góc EBF = góc ABE (góc cùng chắn cung EF).
  + Góc ECF = góc ACF (góc cùng chắn cung EF).

- Vì đã chứng minh góc ABE = góc ACF, nên góc EBF = góc ECF.

- Theo tính chất của tứ giác nội tiếp, nếu một cặp góc đối trong tứ giác nội tiếp bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp.
Do đó, tứ giác BCEF nội tiếp.