Hxmshsnabsns

Câu 13.23. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề một. Mệnh đề a) Đạo hàm của hàm số $f(x)$: \[ f(x) = \frac{x^3}{3} - 3x - 6\ln(2-x) + 1 \] Tính đạo hàm từng thành phần: \[ f'(x) = \left(\frac{x^3}{3}\right)' - (3x)' - (6\ln(2-x))' + (1)' \] \[ f'(x) = x^2 - 3 - 6 \cdot \frac{-1}{2-x} \] \[ f'(x) = x^2 - 3 + \frac{6}{2-x} \] Phân tích thêm: \[ f'(x) = \frac{(x^2 - 3)(2-x) + 6}{2-x} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 - x^3 - 6 + 3x + 6}{2-x} \] \[ f'(x) = \frac{-x^3 + 2x^2 + 3x}{2-x} \] \[ f'(x) = \frac{x^3 - 2x^2 - 3x}{x-2} \] Mệnh đề a) đúng. Mệnh đề b) Hàm số $f(x)$ đồng biến trong khoảng $(-\infty; -1)$ nếu $f'(x) > 0$ trong khoảng này. Ta xét dấu của $f'(x)$: \[ f'(x) = \frac{x^3 - 2x^2 - 3x}{x-2} \] Phân tích tử số: \[ x^3 - 2x^2 - 3x = x(x^2 - 2x - 3) = x(x-3)(x+1) \] Do đó: \[ f'(x) = \frac{x(x-3)(x+1)}{x-2} \] Trong khoảng $(-\infty; -1)$, ta thấy: - $x < 0$ - $x-3 < 0$ - $x+1 < 0$ - $x-2 < 0$ Như vậy, tất cả các thừa số đều âm, nên $f'(x) > 0$. Do đó, hàm số đồng biến trong khoảng $(-\infty; -1)$. Mệnh đề b) đúng. Mệnh đề c) Cực trị của hàm số xảy ra khi $f'(x) = 0$: \[ \frac{x(x-3)(x+1)}{x-2} = 0 \] Giải phương trình: \[ x(x-3)(x+1) = 0 \] \[ x = 0, x = 3, x = -1 \] Kiểm tra các điểm này: - $x = 0$: $f(0) = 1$ - $x = 3$: $f(3) = \frac{27}{3} - 9 - 6\ln(-1) + 1$ (không xác định vì $\ln(-1)$ không tồn tại) - $x = -1$: $f(-1) = \frac{-1}{3} + 3 - 6\ln(3) + 1 = \frac{8}{3} - 6\ln(3)$ Tổng các giá trị cực đại và cực tiểu: \[ 1 + \left(\frac{8}{3} - 6\ln(3)\right) = \frac{11}{3} - 6\ln(3) \] Mệnh đề c) sai. Mệnh đề d) Đường tiệm cận xiên của hàm số $g(x) = \frac{f(x)}{x^2 + 2x + 2}$: \[ g(x) = \frac{\frac{x^3}{3} - 3x - 6\ln(2-x) + 1}{x^2 + 2x + 2} \] Khi $x \to \infty$, ta có: \[ g(x) \approx \frac{\frac{x^3}{3}}{x^2} = \frac{x}{3} \] Do đó, đường tiệm cận xiên là $y = \frac{x}{3}$, suy ra $a = \frac{1}{3}$ và $b = 0$. Vậy $a + b = \frac{1}{3}$. Mệnh đề d) đúng. Kết luận - Mệnh đề a) đúng. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) đúng. Câu 13.24. a) Đúng vì $x^2-5x+4>0\Leftrightarrow x< 1$ hoặc $x>4.$ b) Sai vì $f^\prime(x)=\frac{5-2x}{(x^2-5x+4)\ln10}.$ c) Sai vì $f^\prime(x)>0$ khi $x< \frac52$ và $x\ne1.$ d) Đúng vì $f(x)>0\Leftrightarrow x^2-5x+4>1\Leftrightarrow x< \frac{5-\sqrt{13}}{2}$ hoặc $x>\frac{5+\sqrt{13}}{2}.$ Bất phương trình có 4 nghiệm nguyên là $x=0,x=1,x=5,x=6.$ Câu 13.25. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt xét từng mệnh đề một. Mệnh đề a) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(a; b)$ với $a^2 + b = 12$. Tìm cực tiểu của hàm số: Hàm số $y = \frac{x^2 - 3x + 6}{x - 1}$. Tính đạo hàm: \[ y' = \frac{(2x - 3)(x - 1) - (x^2 - 3x + 6)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - 3x + 3 - x^2 + 3x - 6}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] Tìm điểm cực tiểu: \[ y' = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \] \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3 \text{ hoặc } x = -1 \] Kiểm tra dấu của đạo hàm: - Khi $x < -1$, $y' > 0$ - Khi $-1 < x < 1$, $y' < 0$ - Khi $1 < x < 3$, $y' < 0$ - Khi $x > 3$, $y' > 0$ Do đó, điểm cực tiểu là $x = 3$. Thay vào hàm số: \[ y = \frac{3^2 - 3 \cdot 3 + 6}{3 - 1} = \frac{9 - 9 + 6}{2} = 3 \] Vậy điểm cực tiểu là $(3; 3)$. Kiểm tra điều kiện: \[ a^2 + b = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12 \] Mệnh đề a) đúng. Mệnh đề b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = x - 2$. Tìm tiệm cận xiên: \[ y = \frac{x^2 - 3x + 6}{x - 1} = x - 2 + \frac{4}{x - 1} \] Khi $x \to \infty$, $\frac{4}{x - 1} \to 0$, vậy tiệm cận xiên là $y = x - 2$. Mệnh đề b) đúng. Mệnh đề c) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x = 2$ cắt hai đường tiệm cận tại A, B. Diện tích tam giác IAB bằng 12. Tìm giao điểm I của hai đường tiệm cận: Tiệm cận đứng: $x = 1$ Tiệm cận xiên: $y = x - 2$ Giao điểm I là $(1, -1)$. Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = 2$: \[ y = \frac{2^2 - 3 \cdot 2 + 6}{2 - 1} = 4 \] \[ y' = \frac{(2 \cdot 2 - 3)(2 - 1) - (2^2 - 3 \cdot 2 + 6)}{(2 - 1)^2} = \frac{1 \cdot 1 - 4}{1} = -3 \] Phương trình tiếp tuyến: \[ y - 4 = -3(x - 2) \Rightarrow y = -3x + 10 \] Cắt hai đường tiệm cận: - Với $x = 1$: $y = -3 \cdot 1 + 10 = 7$ (điểm B) - Với $y = x - 2$: $-3x + 10 = x - 2 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3$, $y = 1$ (điểm A) Diện tích tam giác IAB: \[ S = \frac{1}{2} \left| 1(7 - 1) + 3(1 + 1) + 1(-1 - 7) \right| = \frac{1}{2} \left| 6 + 6 - 8 \right| = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \] Mệnh đề c) sai. Mệnh đề d) Có tất cả 9 giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 1} = m$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1 < 2 < x_2 < 15$. Phương trình: \[ \frac{x^2 - 3x + 6}{x - 1} = m \Rightarrow x^2 - 3x + 6 = mx - m \Rightarrow x^2 - (m + 3)x + (m + 6) = 0 \] Để có hai nghiệm phân biệt: \[ \Delta = (m + 3)^2 - 4(m + 6) > 0 \Rightarrow m^2 + 6m + 9 - 4m - 24 > 0 \Rightarrow m^2 + 2m - 15 > 0 \] \[ (m + 5)(m - 3) > 0 \Rightarrow m < -5 \text{ hoặc } m > 3 \] Để $x_1 < 2 < x_2 < 15$: - $f(2) < 0$: $4 - 2(m + 3) + (m + 6) < 0 \Rightarrow 4 - 2m - 6 + m + 6 < 0 \Rightarrow -m + 4 < 0 \Rightarrow m > 4$ - $f(15) > 0$: $225 - 15(m + 3) + (m + 6) > 0 \Rightarrow 225 - 15m - 45 + m + 6 > 0 \Rightarrow 186 - 14m > 0 \Rightarrow m < \frac{186}{14} \approx 13.29$ Vậy $4 < m < 13$. Các giá trị nguyên của $m$ là 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Mệnh đề d) sai. Kết luận: - Mệnh đề a) đúng. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) sai.