làm bài tập trên

Bài 1: a) Thu gọn và sắp xếp đa thức $P(x)$ theo lũy thừa giảm của biến: \[ P(x) = x^4 - 2x^2 + 2x^3 - x^4 + x - 4 \] \[ P(x) = (x^4 - x^4) + 2x^3 - 2x^2 + x - 4 \] \[ P(x) = 2x^3 - 2x^2 + x - 4 \] b) Tính $Q(-1)$ và cho biết $(-1)$ có phải là nghiệm của đa thức $Q(x)$ không? \[ Q(x) = 3x^2 - 2x - 5 \] \[ Q(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 5 \] \[ Q(-1) = 3(1) + 2 - 5 \] \[ Q(-1) = 3 + 2 - 5 \] \[ Q(-1) = 0 \] Vì $Q(-1) = 0$, nên $(-1)$ là nghiệm của đa thức $Q(x)$. c) Tìm đa thức $R(x)$, biết đa thức $R(x)$ là hiệu của đa thức $P(x)$ và $Q(x)$. \[ R(x) = P(x) - Q(x) \] \[ R(x) = (2x^3 - 2x^2 + x - 4) - (3x^2 - 2x - 5) \] \[ R(x) = 2x^3 - 2x^2 + x - 4 - 3x^2 + 2x + 5 \] \[ R(x) = 2x^3 - 2x^2 - 3x^2 + x + 2x - 4 + 5 \] \[ R(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 \] Đáp số: a) $P(x) = 2x^3 - 2x^2 + x - 4$ b) $Q(-1) = 0$, $(-1)$ là nghiệm của đa thức $Q(x)$ c) $R(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1$ Bài 2: a) $(x^2-3x+\frac{1}{4})(-3x^3)$ Áp dụng phân phối nhân đối với tổng: = $x^2 \times (-3x^3) - 3x \times (-3x^3) + \frac{1}{4} \times (-3x^3)$ = $-3x^5 + 9x^4 - \frac{3}{4}x^3$ b) $(4x^2+2x+1)(2x-1)-(3-2x+8x^3)$ Áp dụng phân phối nhân đối với tổng: = $4x^2 \times (2x-1) + 2x \times (2x-1) + 1 \times (2x-1) - (3-2x+8x^3)$ = $8x^3 - 4x^2 + 4x^2 - 2x + 2x - 1 - 3 + 2x - 8x^3$ = $-4$ c) $(x^3-3x^2+3x-1):(x-1)$ Ta thực hiện phép chia đa thức: 1. Chia $x^3$ cho $x$ được $x^2$. Nhân $x^2$ với $(x-1)$ được $x^3 - x^2$. Trừ đi ta được $-2x^2 + 3x - 1$. 2. Chia $-2x^2$ cho $x$ được $-2x$. Nhân $-2x$ với $(x-1)$ được $-2x^2 + 2x$. Trừ đi ta được $x - 1$. 3. Chia $x$ cho $x$ được $1$. Nhân $1$ với $(x-1)$ được $x - 1$. Trừ đi ta được $0$. Vậy kết quả của phép chia là $x^2 - 2x + 1$. Đáp số: a) $-3x^5 + 9x^4 - \frac{3}{4}x^3$ b) $-4$ c) $x^2 - 2x + 1$ Bài 3: a) Ta có $\widehat{ABD}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}+\widehat{BAD}$ $=\frac{1}{2}(90^{\circ}-\widehat{BAC})+\widehat{BAD}$ $=45^{\circ}-\frac{1}{2}\widehat{BAC}+\widehat{BAD}$ $=45^{\circ}-\frac{1}{2}\widehat{EAD}+\widehat{BAD}$ $=45^{\circ}+\frac{1}{2}\widehat{EAD}$ $=\widehat{AED}$ b) Ta có $\widehat{AFE}=\widehat{ABD}+\widehat{BAD}$ $=\widehat{AED}+\widehat{DAF}$ $=\widehat{AFD}$ $\Rightarrow AF=AD$ Mà $AE=AB$ $\Rightarrow EF=BD$ $\Rightarrow \widehat{EFD}=\widehat{BDF}$ $\Rightarrow \widehat{CFD}=\widehat{BCD}$ $\Rightarrow CF=CD$ $\Rightarrow \Delta AFC$ cân c) Ta có $\widehat{HDC}=\widehat{HFC}$ $\Rightarrow \Delta HCD$ đồng dạng $\Delta HCF$ $\Rightarrow \frac{CH}{HF}=\frac{CD}{CF}$ Mà $CD=CF$ $\Rightarrow CH=HF$ Mà $CM=MF$ $\Rightarrow MH=CH=HF$ $\Rightarrow \frac{IH}{DH}=\frac{MH}{DH-MH}=\frac{CH}{DF-CH}=\frac{CH}{2CF-CH}=\frac{1}{3}$ Bài 4: a) Ta có: $3x-y=3z$ (1) $2x+y=7z$ (2) Nhân (1) với 2 rồi cộng vế trái và vế phải của (1) và (2) ta được: $(6x-2y)+(2x+y)=6z+7z$ $8x-y=13z$ (3) Nhân (2) với 3 rồi trừ vế trái và vế phải của (1) từ (2) ta được: $(6x+3y)-(3x-y)=21z-6z$ $3x+4y=15z$ (4) Nhân (3) với 3 rồi trừ vế trái và vế phải của (4) từ (3) ta được: $(24x-3y)-(3x+4y)=39z-15z$ $21x-7y=24z$ $x-\frac{y}{3}=\frac{8}{7}z$ (5) Nhân (2) với 2 rồi trừ vế trái và vế phải của (1) từ (2) ta được: $(4x+2y)-(3x-y)=14z-6z$ $x+3y=8z$ (6) Nhân (5) với 3 rồi cộng vế trái và vế phải của (6) ta được: $(3x-y)+(x+3y)=\frac{24}{7}z+8z$ $4x+2y=\frac{80}{7}z$ $x+\frac{y}{2}=\frac{20}{7}z$ (7) Nhân (7) với 2 rồi trừ vế trái và vế phải của (6) từ (7) ta được: $(2x+y)-(x+3y)=\frac{40}{7}z-8z$ $x-2y=-\frac{16}{7}z$ (8) Nhân (8) với 2 rồi cộng vế trái và vế phải của (6) ta được: $(2x-4y)+(x+3y)=-\frac{32}{7}z+8z$ $3x-y=\frac{24}{7}z$ (9) Nhân (9) với 3 rồi trừ vế trái và vế phải của (8) từ (9) ta được: $(9x-3y)-(x-2y)=\frac{72}{7}z+\frac{16}{7}z$ $8x-y=\frac{88}{7}z$ (10) Nhân (10) với 3 rồi trừ vế trái và vế phải của (9) từ (10) ta được: $(24x-3y)-(9x-3y)=\frac{264}{7}z-\frac{72}{7}z$ $15x=192z$ $x=\frac{64}{5}z$ Thay vào (2) ta được: $2\times \frac{64}{5}z+y=7z$ $y=-\frac{43}{5}z$ Vậy $A=\frac{\frac{64}{5}z\times (\frac{64}{5}z+\frac{43}{5}z)}{\frac{64}{5}z\times \frac{64}{5}z+\frac{43}{5}z\times \frac{43}{5}z}=\frac{107}{1073}$ b) Giả sử trong 50 tấm thẻ bài không có hai tấm thẻ bài nào ghi cùng một số. Ta sẽ chứng minh trong 50 tấm thẻ bài này luôn tìm được ba tấm thẻ bài trong đó một tấm thẻ bài có số ghi trên thẻ bài bằng tổng số ghi trên hai tấm thẻ bài còn lại. Ta thấy trong 50 tấm thẻ bài không có hai tấm thẻ bài nào ghi cùng một số nên các số ghi trên các tấm thẻ bài là 50 số khác nhau. Ta sẽ chia các số này thành 2 nhóm: Nhóm 1 gồm các số lẻ và nhóm 2 gồm các số chẵn. Ta thấy trong 50 số khác nhau thì luôn có ít nhất 25 số lẻ và 25 số chẵn. Ta sẽ xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Số lượng các số lẻ và các số chẵn đều bằng 25. Ta thấy trong 25 số lẻ thì luôn có ít nhất 13 số lẻ có tổng của chúng là số chẵn. Ta sẽ chia 13 số lẻ này thành 13 cặp, mỗi cặp gồm 2 số lẻ. Ta thấy trong 13 cặp này luôn có ít nhất 7 cặp có tổng của chúng là số chẵn. Ta sẽ chia 7 cặp này thành 7 nhóm, mỗi nhóm gồm 2 cặp. Ta thấy trong 7 nhóm này luôn có ít nhất 4 nhóm có tổng của chúng là số chẵn. Ta sẽ chia 4 nhóm này thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 2 nhóm. Ta thấy trong 4 nhóm này luôn có ít nhất 2 nhóm có tổng của chúng là số chẵn. Ta sẽ chia 2 nhóm này thành 2 nhóm, mỗi nhóm gồm 2 nhóm. Ta thấy trong 2 nhóm này luôn có ít nhất 1 nhóm có tổng của chúng là số chẵn. Vậy ta đã tìm được 3 số lẻ có tổng của chúng là số chẵn. - Trường hợp 2: Số lượng các số lẻ lớn hơn số lượng các số chẵn. Ta thấy trong 25 số lẻ thì luôn có ít nhất 13 số lẻ có tổng của chúng là số chẵn. Ta sẽ chia 13 số lẻ này thành 13 cặp, mỗi cặp gồm 2 số lẻ. Ta thấy trong 13 cặp này luôn có ít nhất 7 cặp có tổng của chúng là số chẵn. Ta sẽ chia 7 cặp này thành 7 nhóm, mỗi nhóm gồm 2 cặp. Ta thấy trong 7 nhóm này luôn có ít nhất 4 nhóm có tổng của chúng là số chẵn. Ta sẽ chia 4 nhóm này thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 2 nhóm. Ta thấy trong 4 nhóm này luôn có ít nhất 2 nhóm có tổng của chúng là số chẵn. Ta sẽ chia 2 nhóm này thành 2 nhóm, mỗi nhóm gồm 2 nhóm. Ta thấy trong 2 nhóm này luôn có ít nhất 1 nhóm có tổng của chúng là số chẵn. Vậy ta đã tìm được 3 số lẻ có tổng của chúng là số chẵn. Từ đó ta suy ra trong 50 tấm thẻ bài luôn tìm được ba tấm thẻ bài trong đó một tấm thẻ bài có số ghi trên thẻ bài bằng tổng số ghi trên hai tấm thẻ bài còn lại.