Câu 15.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó.
Bước 1: Xác định tổng và tỉ số.
- Tổng số công nhân ban đầu là 12 công nhân.
- Thời gian ban đầu là 16 ngày.
- Thời gian mới là 12 ngày.
Bước 2: Tính số công nhân cần thiết để hoàn thành công việc trong 12 ngày.
- Ta có tỉ số giữa thời gian ban đầu và thời gian mới là .
- Điều này có nghĩa là nếu muốn hoàn thành công việc trong thời gian ngắn hơn, ta cần tăng số lượng công nhân lên theo tỉ số .
Bước 3: Tính số công nhân cần thiết.
- Số công nhân cần thiết để hoàn thành công việc trong 12 ngày là công nhân.
Bước 4: Tính số công nhân cần thêm.
- Số công nhân cần thêm là công nhân.
Vậy cần phải tăng thêm 4 công nhân nữa để có thể hoàn thành công việc trong 12 ngày.
Đáp số: 4 công nhân.
Câu 16.
Để tìm hệ số trong đa thức khi biết rằng đa thức này có nghiệm , ta thực hiện các bước sau:
1. Thay vào đa thức :
2. Tính giá trị của :
3. Thay giá trị này vào biểu thức:
4. Thực hiện phép nhân:
5. Thay kết quả này vào biểu thức:
6. Kết hợp các hằng số:
7. Vì là nghiệm của đa thức, nên :
8. Giải phương trình này để tìm :
Vậy hệ số là .
Câu 17.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm nghiệm của đa thức .
2. Thay nghiệm của vào đa thức để tìm giá trị của và .
3. Tính tổng của hai hệ số và .
Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức .
Đa thức .
Nghiệm của là các giá trị của làm cho .
.
Từ đây, ta có hai nghiệm:
- .
- .
Bước 2: Thay nghiệm của vào đa thức .
Đa thức .
Thay vào :
Thay vào :
Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm và .
Ta có hệ phương trình:
Trừ phương trình (1) từ phương trình (2):
Thay vào phương trình (1):
Bước 4: Tính tổng của hai hệ số và .
Tổng của hai hệ số và là:
Đáp số: Tổng của hai hệ số và là 2.
Câu 18.
Diện tích xung quanh của một hộp bánh là:
Diện tích toàn phần của một hộp bánh là:
Diện tích các mép gấp dán của một hộp bánh là:
Diện tích bìa cần để làm một hộp bánh là:
Diện tích bìa cần để làm 30 000 hộp bánh là:
Đổi:
Đáp số: 3645 m
Bài 1.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.
Bước 1: Xác định thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội và suy ra tỉ lệ năng suất của mỗi đội.
- Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 ngày.
- Đội thứ hai hoàn thành công việc trong 6 ngày.
- Đội thứ ba hoàn thành công việc trong 4 ngày.
Tỉ lệ thời gian hoàn thành công việc của đội thứ ba so với đội thứ hai là:
Do đó, tỉ lệ năng suất của đội thứ ba so với đội thứ hai là:
Bước 2: Xác định hiệu số phần bằng nhau.
Hiệu số phần bằng nhau giữa đội thứ ba và đội thứ hai là:
Bước 3: Tìm giá trị của 1 phần.
Biết rằng đội thứ ba nhiều hơn đội thứ hai là 20 người, ta có:
Bước 4: Tìm số người của mỗi đội.
Số người của đội thứ hai là:
Số người của đội thứ ba là:
Bước 5: Xác định tỉ lệ năng suất của đội thứ nhất so với đội thứ hai.
Tỉ lệ thời gian hoàn thành công việc của đội thứ nhất so với đội thứ hai là:
Do đó, tỉ lệ năng suất của đội thứ nhất so với đội thứ hai là:
Bước 6: Tìm số người của đội thứ nhất.
Số người của đội thứ nhất là:
Kết luận:
- Số người của đội thứ nhất là 48 người.
- Số người của đội thứ hai là 40 người.
- Số người của đội thứ ba là 60 người.
Bài 2.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.
Phần a) Chứng minh
- Vì M là trung điểm của CH nên CM = MH.
- MD vuông góc với BC, do đó góc CMD và góc MHD đều là góc vuông (90°).
- MD chung cho cả hai tam giác DMC và DMH.
Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ nhất (cạnh huyền và cạnh góc vuông), ta có:
Phần b) Chứng minh
- Vì , nên góc DCM = góc DHC.
- Gọi góc DCM = góc DHC = x.
- Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc BAC = góc BCA.
- Gọi góc BAC = góc BCA = y.
Xét tam giác BAH:
- Góc BAH = 90° - y (vì AH vuông góc với BC).
Xét tam giác DHC:
- Góc DHC = x (chúng ta đã chứng minh ở trên).
- Góc HCD = y (vì tam giác ABC cân tại A).
Do đó, góc DHC = 90° - y.
Vậy góc BAH = góc DHC, tức là góc BAH = góc DHC = 90° - y.
Từ đây, ta thấy rằng:
Do đó, ta có:
Phần c) Chứng minh
- Ta xét tam giác AHB và tam giác BDC.
- Trong tam giác AHB, ta có:
- Trong tam giác BDC, ta có:
Vì tam giác ABC cân tại A, nên:
Do đó:
Ta có:
Kết hợp lại, ta có:
Vì , nên:
Suy ra:
Ta cần chứng minh:
Vì , ta có thể thấy rằng:
Vậy ta đã chứng minh được:
Đáp số:
Bài 3.
Để tính xác suất của biến cố "Số trên thẻ được rút ra là số có tổng các chữ số bằng 9", chúng ta cần làm theo các bước sau:
Bước 1: Xác định tổng số thẻ
- Hộp có 100 chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số từ 1 đến 100.
Bước 2: Xác định số thẻ thỏa mãn điều kiện
- Chúng ta cần tìm các số từ 1 đến 100 mà tổng các chữ số của chúng bằng 9.
Danh sách các số có tổng các chữ số bằng 9:
- Các số có 1 chữ số: Không có số nào.
- Các số có 2 chữ số: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90.
- Các số có 3 chữ số: 99.
Như vậy, có tổng cộng 10 số thỏa mãn điều kiện (18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99).
Bước 3: Tính xác suất
- Xác suất của biến cố là tỷ lệ giữa số thẻ thỏa mãn điều kiện và tổng số thẻ.
Xác suất = = = .
Kết luận:
Xác suất của biến cố "Số trên thẻ được rút ra là số có tổng các chữ số bằng 9" là .