Giúp tôi với

Câu 6. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + \frac{x}{2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm từng phần của hàm số: - Nguyên hàm của \( 3x^2 \): \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] - Nguyên hàm của \( \frac{x}{2} \): \[ \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4} \] 2. Gộp các nguyên hàm lại: \[ \int f(x) \, dx = \int \left( 3x^2 + \frac{x}{2} \right) \, dx = x^3 + \frac{x^2}{4} + C \] Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + \frac{x}{2} \) là: \[ \int f(x) \, dx = x^3 + \frac{x^2}{4} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\int f(x) \, dx = x^3 + \frac{x^2}{4} + C \] Câu 7. Để tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), trục Ox và hai đường thẳng \( x = a \), \( x = b \) xung quanh trục Ox, ta sử dụng công thức thể tích khối tròn xoay. Công thức thể tích khối tròn xoay khi quay một hình phẳng giới hạn bởi \( y = f(x) \), trục Ox và hai đường thẳng \( x = a \), \( x = b \) xung quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong các đáp án đã cho: - A. \( \pi \int f(x) \, dx \) - B. \( 2\pi \int f^2(x) \, dx \) - C. \( \int f'(x) \, dx \) - D. \( \varepsilon^\dagger f'(x) \, dx \) Ta thấy rằng đáp án đúng là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~\pi \int f(x) \, dx} \] Tuy nhiên, cần lưu ý rằng đáp án đúng trong ngữ cảnh này là: \[ \boxed{A.~\pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx} \] Câu 8. Câu hỏi: Cho $\int^\dagger_1f(x)dx=2$ và $\int^{\prime\prime}_{\int f(x)dx=5.}\int^{\prime\prime}_{\int f(x)dx=5.}$ Khi đó $\int^f_ff(s)ds$ bằng A. 7. B. 10. C. -3. D. 6. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Câu hỏi này có vẻ có lỗi trong phần ghi chú cận trên và cận dưới của các tích phân. Tuy nhiên, dựa vào thông tin đã cho, ta sẽ cố gắng giải quyết nó theo cách tốt nhất có thể. Giả sử rằng $\int^\dagger_1f(x)dx=2$ và $\int^{\prime\prime}_{\int f(x)dx=5.}\int^{\prime\prime}_{\int f(x)dx=5.}$ có nghĩa là $\int^{\prime\prime}_1f(x)dx=5$. Bây giờ, ta cần tính $\int^f_ff(s)ds$. Ta giả sử rằng cận trên và cận dưới của tích phân này là $f$ và $f$, tức là cận trên và cận dưới giống nhau. Trong trường hợp này, tích phân sẽ bằng 0 vì cận trên và cận dưới giống nhau. Tuy nhiên, nếu giả sử rằng cận trên và cận dưới của tích phân này là các giá trị cụ thể, ta có thể sử dụng các thông tin đã cho để tính toán. Giả sử cận trên là $b$ và cận dưới là $a$, ta có: $\int^b_af(s)ds = \int^b_1f(s)ds - \int^a_1f(s)ds$ Dựa vào thông tin đã cho: $\int^b_1f(s)ds = 5$ $\int^a_1f(s)ds = 2$ Do đó: $\int^b_af(s)ds = 5 - 2 = 3$ Tuy nhiên, vì cận trên và cận dưới của tích phân này là $f$ và $f$, ta có: $\int^f_ff(s)ds = 0$ Vậy đáp án đúng là: C. 0 Đáp án: C. 0 Câu 9. Câu hỏi: Cho $\int^f_f(x)dx=-3$ Khi đó $\int^f_f(x)dx.$ A. 3. B. 2. C. 4. D. -2. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Trước tiên, ta cần hiểu rằng ký hiệu $\int^f_f(x)dx$ có thể gây nhầm lẫn vì cận trên và cận dưới đều là f. Tuy nhiên, theo quy tắc tính nguyên hàm, nếu cận trên và cận dưới giống nhau thì tích phân sẽ bằng 0. Do đó, $\int^f_f(x)dx = 0$. Tuy nhiên, trong đề bài đã cho $\int^f_f(x)dx = -3$, điều này có thể là một lỗi hoặc một giả thiết đặc biệt nào đó. Nhưng dựa vào thông tin đã cho, ta sẽ tiếp tục giải quyết câu hỏi. Câu hỏi yêu cầu tính $\int^f_f(x)dx$. Vì đã cho $\int^f_f(x)dx = -3$, nên ta có thể kết luận: $\int^f_f(x)dx = -3$. Vậy đáp án đúng là D. -2. Đáp án: D. -2. Câu 10. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$, ta sử dụng công thức tích phân. Cụ thể, diện tích này được tính bằng cách lấy tích phân của giá trị tuyệt đối của hàm số $f(x)$ từ $a$ đến $b$. Công thức chính xác để tính diện tích là: \[ A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Lý do chọn công thức này là vì: - Tích phân $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ chỉ cho biết diện tích "đã ký hiệu", tức là diện tích phía trên trục hoành là dương và diện tích phía dưới trục hoành là âm. - Để tính tổng diện tích thực sự (không phụ thuộc vào dấu), ta cần lấy giá trị tuyệt đối của hàm số $f(x)$ trong tích phân. Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~\int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Câu 11. Hàm số $y = \pi^2$ là hàm hằng, do đó đồ thị của nó là một đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm $(0, \pi^2)$. Hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng $x = 2$, $x = 3$ là một hình chữ nhật có chiều cao $\pi^2$ và chiều rộng là khoảng cách giữa hai đường thẳng $x = 2$ và $x = 3$, tức là 1 đơn vị. Khi quay hình phẳng D quanh trục hoành, ta sẽ tạo thành một khối trụ có bán kính đáy là $\pi^2$ và chiều cao là 1. Thể tích của khối tròn xoay này được tính theo công thức: \[ V = \pi r^2 h \] Trong trường hợp này, bán kính đáy $r = \pi^2$ và chiều cao $h = 1$. Do đó: \[ V = \pi (\pi^2)^2 \cdot 1 = \pi \pi^4 = \pi^5 \] Công thức tích phân để tính thể tích khối tròn xoay khi quay một hàm số $f(x)$ quanh trục hoành từ $x = a$ đến $x = b$ là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Áp dụng vào bài toán này, ta có: \[ V = \pi \int_{2}^{3} (\pi^2)^2 \, dx = \pi \int_{2}^{3} \pi^4 \, dx = \pi \pi^4 \int_{2}^{3} 1 \, dx = \pi^5 \left[ x \right]_{2}^{3} = \pi^5 (3 - 2) = \pi^5 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~V = \pi \pi^4 \int_{2}^{3} dx \] Đáp án: C. \( V = \pi \pi^4 \int_{2}^{3} dx \) Câu 12. Để tính giá trị của biểu thức \( I = \int [2f(x) - 3g(x)] \, dx \), ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Trước tiên, ta tách biểu thức tích phân thành hai phần: \[ I = \int 2f(x) \, dx - \int 3g(x) \, dx \] Sau đó, ta sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân để đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân: \[ I = 2 \int f(x) \, dx - 3 \int g(x) \, dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int f(x) \, dx = 3 \] \[ \int g(x) \, dx = -2 \] Thay các giá trị này vào biểu thức của \( I \): \[ I = 2 \cdot 3 - 3 \cdot (-2) \] \[ I = 6 + 6 \] \[ I = 12 \] Vậy giá trị của biểu thức \( I \) là 12. Đáp án đúng là: B. 12. Câu 13. Để tìm quãng đường mà viên bi lăn được trong thời gian \( t \) kể từ lúc ném bi, ta cần tính tích phân của tốc độ \( v(t) \). Bước 1: Xác định tốc độ của viên bi theo thời gian: \[ v(t) = 9 - 2t \] Bước 2: Tính quãng đường \( s(t) \) bằng cách tích phân tốc độ \( v(t) \): \[ s(t) = \int_0^t v(t) \, dt = \int_0^t (9 - 2t) \, dt \] Bước 3: Thực hiện tích phân: \[ s(t) = \left[ 9t - t^2 \right]_0^t = 9t - t^2 \] Vậy quãng đường mà viên bi lăn được trong thời gian \( t \) kể từ lúc ném bi là: \[ s(t) = 9t - t^2 \] Đáp số: \( s(t) = 9t - t^2 \)