Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB. Gọi M là điểm di động trên cung AC (M không trùng với A và C). Gọi giao điểm của BM với AC là H.
a, Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ H lên AB. Chứng minh tứ giác BKHC nội tiếp.
b, Gọi P là giao điểm của CK và BM. Chứng minh MH.PB = MC.PK.
c, Lấy điểm E trên đoạn BM sao cho BE = AM. Tìm tập hợp điểm E khi M di động trên cung AC.
Vẽ hình cho bài toán trên

Question

duckhanhnam · Accepted Answer

{"userId":5158815,"userName":"hlinhng"} Cho nửa đường tròn tâm OOO, đường kính ABABAB.
Vẽ bán kính OCOCOC vuông góc với ABABAB (suy ra: OC⊥ABOC \perp ABOC⊥AB, và điểm CCC nằm trên nửa đường tròn).
MMM là điểm di động trên cung ACACAC (trừ điểm AAA và CCC).
Gọi HHH là giao điểm của BMBMBM với ACACAC.
Câu a: Gọi KKK là chân đường vuông góc từ HHH xuống OCOCOC. Chứng minh rằng: HK⊥OCHK \perp OCHK⊥OC.

Giải câu a:

1. Phân tích hình học:

OC⊥ABOC \perp ABOC⊥AB, nên OCOCOC là trục trung trực của đoạn ABABAB.
Do ABABAB là đường kính và MMM thuộc cung ACACAC, tam giác AMBAMBAMB là tam giác nội tiếp nửa đường tròn, nên tam giác vuông tại MMM nếu MMM nằm trên cung (khác điểm A và B).

Tuy nhiên, trong bài, chúng quan tâm đến hình chiếu của H lên OC và chứng minh HK ⊥ OC, điều này đơn giản vì:

2. Lập luận hình học:

KKK được định nghĩa là chân đường vuông góc từ HHH lên OCOCOC.
Theo định nghĩa hình học phẳng, chân đường vuông góc từ một điểm lên một đường thẳng là điểm tạo với điểm đó một đoạn vuông góc với đường thẳng.

✅ Kết luận câu a:

Vì KKK là chân đường vuông góc từ HHH lên OCOCOC, nên theo định nghĩa:

HK⊥OCHK \perp OCHK⊥OC (đúng theo cách dựng, không cần chứng minh thêm).

Timi · Answer

a, Ta có $\widehat{BKH} = 90^\circ$ (vì HK vuông góc với AB)
$\widehat{BCH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Tứ giác BKHC có hai góc đỉnh B và C đều bằng 90 độ nên nội tiếp.
b, Ta có $\widehat{PBC} = \widehat{HMC}$ (hai góc cùng bù với $\widehat{HBM}$)
$\widehat{PHC} = \widehat{PMC}$ (góc chung)
Do đó tam giác PHC và tam giác PMC đồng dạng (g-g)
Suy ra $\frac{MH}{PC} = \frac{MC}{PK}$
Hay $MH.PK = MC.PC$
c, Ta có $\widehat{ABM} = \widehat{ACM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
$\widehat{ABE} = \widehat{ACM}$ (góc ngoài tam giác ABM bằng góc trong cùng phía với nó)
Tam giác ABE có $\widehat{BAE} = \widehat{ABE}$ nên là tam giác cân tại A.
Suy ra AE = AB = R (R là bán kính của nửa đường tròn)
Tập hợp các điểm E là đường tròn tâm A, bán kính R, không chứa điểm A.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB. Gọi M là điểm di động trên cung AC (M không trùng với A và C). Gọi giao điểm của BM với AC là H. a, Gọi K là chân đường vuông gó...