giải giúp tôi

Câu 1. Để tìm một véctơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), ta cần xác định véctơ chỉ phương từ phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t, \quad t \in \mathbb{R}. \end{array} \right. \] Từ phương trình này, ta thấy rằng khi thay đổi giá trị của tham số \(t\), tọa độ của điểm trên đường thẳng sẽ thay đổi theo quy luật: - Tọa độ \(x\) tăng 3 đơn vị khi \(t\) tăng 1 đơn vị. - Tọa độ \(y\) giảm 1 đơn vị khi \(t\) tăng 1 đơn vị. Do đó, véctơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \((3, -1)\). Ta có thể viết véctơ chỉ phương đầy đủ trong không gian Oxyz là \((3, -1, 0)\), nhưng vì đây là đường thẳng trong mặt phẳng Oxy, nên ta chỉ cần quan tâm đến hai thành phần đầu tiên. Vậy, véctơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \((3, -1)\). Đáp án đúng là: \(\textcircled{C}.~(3, -1, 1)\). Câu 2. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2;3;-1) và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=(2;1;1)$ làm một vectơ chỉ phương có dạng: \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \] Trong đó, $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ điểm M và $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ $\overrightarrow{u}$. Thay vào ta có: \[ \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 1}{1} \] Do đó, phương trình đường thẳng d là: \[ \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 1}{1} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 1}{1} \] Câu 3. Để tính $\sin(\Delta, (P))$, ta cần biết góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$. Góc này được tính dựa trên góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$. Khi đó, $\sin(\theta)$ sẽ bằng $\cos(\phi)$, trong đó $\phi$ là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Công thức tính $\cos(\phi)$ là: \[ \cos(\phi) = \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{n}|} \] Trong đó: - $\overrightarrow{u} = (a, b, c)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. - $\overrightarrow{n} = (A, B, C)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. - $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}$ là tích vô hướng của hai vectơ. - $|\overrightarrow{u}|$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}$. - $|\overrightarrow{n}|$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{n}$. Tích vô hướng $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}$ là: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = aA + bB + cC \] Độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}$ là: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \] Độ dài của vectơ $\overrightarrow{n}$ là: \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \] Do đó: \[ \cos(\phi) = \frac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Vì $\sin(\theta) = \cos(\phi)$, nên: \[ \sin(\theta) = \frac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy đáp án đúng là: \[ C.~\frac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Đáp án: C. Câu 4. Phương trình của mặt cầu (S) là $(x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=4$. Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của phương trình mặt cầu $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ tâm của mặt cầu và $R$ là bán kính. So sánh phương trình đã cho với phương trình chuẩn, ta có: - Tọa độ tâm của mặt cầu là $(1, -1, 2)$. - Bán kính của mặt cầu là $\sqrt{4} = 2$. Do đó, tọa độ tâm của mặt cầu (S) là $(1, -1, 2)$. Vậy đáp án đúng là: $C.~(1; -1; 2)$. Câu 5. Để tính xác suất $P(A/B)$, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện cho hai biến cố độc lập: \[ P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Vì A và B là hai biến cố độc lập, nên xác suất giao của chúng là: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] Thay các giá trị đã cho vào công thức trên: \[ P(A \cap B) = 0,24 \times 0,25 = 0,06 \] Bây giờ, ta tính xác suất điều kiện $P(A/B)$: \[ P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,06}{0,25} = 0,24 \] Vậy đáp án đúng là: A. 0,24. Câu 6. Để tính $P(A|B)$, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Trước tiên, ta cần tìm $P(A \cap B)$. Ta biết rằng: \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \] Thay các giá trị đã cho vào công thức trên: \[ 0,8 = \frac{P(A \cap B)}{0,2} \] Từ đó, ta có: \[ P(A \cap B) = 0,8 \times 0,2 = 0,16 \] Bây giờ, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện để tính $P(A|B)$: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,16}{0,5} = 0,32 \] Vậy đáp án đúng là: D. 0,32 Câu 7. Muốn tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^2$, ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ với $n \neq -1$. Trong trường hợp này, $n = 2$. Do đó, ta có: \[ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \] Như vậy, nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^2$ là $\frac{x^3}{3} + C$. Do đó, cả hai đáp án A và B đều sai vì không đúng với công thức nguyên hàm đã nêu. Đáp án đúng là: $\frac{x^3}{3} + C$.