giải theo sách toán

Câu 15. Để nhẩm nghiệm của phương trình \(x^2 - 2020x - 2021 = 0\), ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\) có hai nghiệm là: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong phương trình \(x^2 - 2020x - 2021 = 0\), ta có: - \(a = 1\) - \(b = -2020\) - \(c = -2021\) Áp dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-(-2020) \pm \sqrt{(-2020)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2021)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2020 \pm \sqrt{2020^2 + 4 \cdot 2021}}{2} \] \[ x = \frac{2020 \pm \sqrt{2020^2 + 8084}}{2} \] \[ x = \frac{2020 \pm \sqrt{2020^2 + 8084}}{2} \] Ta thấy rằng \(2020^2\) là một số rất lớn, do đó ta có thể kiểm tra xem có thể phân tích thành nhân tử dễ dàng không. Ta thử phân tích phương trình thành nhân tử: \[ x^2 - 2020x - 2021 = (x - 2021)(x + 1) = 0 \] Từ đây, ta có hai nghiệm: \[ x - 2021 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \] \[ x = 2021 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Vậy nghiệm của phương trình \(x^2 - 2020x - 2021 = 0\) là: \[ x = 2021 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Câu 16. a) Với $m=0$, phương trình trở thành: \[ x^2 - 2x - 1 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -2$, $c = -1$. Ta có: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = 1 + \sqrt{2}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{2} \] b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần: \[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \] Ở đây, $a = 1$, $b = -2(m+1)$, $c = m^2 + m - 1$. Ta có: \[ \Delta = [-2(m+1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 + m - 1) = 4(m+1)^2 - 4(m^2 + m - 1) \] \[ = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 + m - 1) = 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 - 4m + 4 = 4m + 8 \] Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ 4m + 8 > 0 \] \[ m > -2 \] Theo bài toán, ta có: \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 4 \] Biến đổi: \[ \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = 4 \] Áp dụng hệ thức Viète: \[ x_1 + x_2 = 2(m+1) \] \[ x_1 x_2 = m^2 + m - 1 \] Thay vào: \[ \frac{2(m+1)}{m^2 + m - 1} = 4 \] Giải phương trình này: \[ 2(m+1) = 4(m^2 + m - 1) \] \[ 2m + 2 = 4m^2 + 4m - 4 \] \[ 4m^2 + 2m - 6 = 0 \] \[ 2m^2 + m - 3 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ m_1 = 1, \quad m_2 = -\frac{3}{2} \] Kiểm tra điều kiện $m > -2$: - Với $m = 1$: Thỏa mãn $m > -2$ - Với $m = -\frac{3}{2}$: Không thỏa mãn $m > -2$ Vậy giá trị của $m$ là: \[ m = 1 \] Câu 17. a) Ta có $\widehat{AED}=\widehat{AHD}=90^\circ$ nên tứ giác AEHD nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° là tứ giác nội tiếp) b) Ta có $\widehat{EAD}=\widehat{EHD}$ (cùng chắn cung ED) Mà $\widehat{EHD}=\widehat{BHC}$ (hai góc so le trong) $\widehat{BHC}=\widehat{AKC}$ (hai góc cùng chắn cung AC) Nên $\widehat{EAD}=\widehat{AKC}$ Ta lại có $\widehat{ADE}=\widehat{ACK}$ (cùng chắn cung AE) Nên $\triangle ADE \sim \triangle ACK$ (g-g) Suy ra $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AK}$ hay $AE.AK=AD.AC$