Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 2) Cho đường tròn (O; R). Lấy điểm A nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ sao cho,$OA2R.$ Từ điểm A vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O; R) (B, C là 2 tiếp,điểm). Các đoạn thẳng AO và BC cắt nhau tại H. Vẽ đường kính BM của (O; R).,a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.,b) Chứng minh $CM//OA$ và $BC.AB=AH.BM$,c) Gọi D là giao điểm của MH và đường tròn (O). Tia BD cắt AH tại E. Chứng,minh E là trung điểm của đoạn thẳng AH.

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 2) Cho đường tròn (O; R). Lấy điểm A nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ sao cho,$OA>2R.$ Từ điểm A vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O; R) (B, C là 2 tiếp,điểm). Các đoạn thẳng AO và BC cắt nhau tại H. Vẽ đường kính BM của (O; R).,a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.,b) Chứng minh $CM//OA$ và $BC.AB=AH.BM$,c) Gọi D là giao điểm của MH và đường tròn (O). Tia BD cắt AH tại E. Chứng,minh E là trung điểm của đoạn thẳng AH.

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

Ta có AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B và C. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

- $ \angle OBA = \angle OCA = 90^\circ $.

Xét tứ giác ABOC, ta có:

- $ \angle OBA + \angle OCA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $.

Do đó, tứ giác ABOC nội tiếp trong một đường tròn (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng $180^\circ$).

b) Chứng minh $CM \parallel OA$ và $BC \cdot AB = AH \cdot BM$.

- Để chứng minh $CM \parallel OA$, ta cần chứng minh rằng hai góc tương ứng bằng nhau. Ta có $BM$ là đường kính của đường tròn (O; R), do đó $ \angle BCM = 90^\circ $. Mặt khác, $ \angle BAC = 90^\circ $ (do AB và AC là tiếp tuyến). Vậy $ \angle BCM = \angle BAC $, suy ra $CM \parallel OA$.

- Để chứng minh $BC \cdot AB = AH \cdot BM$, ta sử dụng định lý về đường kính và tiếp tuyến. Ta có:

- $ \angle BAC = 90^\circ $ (do AB và AC là tiếp tuyến).
  - $ \angle BMC = 90^\circ $ (do BM là đường kính).

Do đó, hai tam giác $ \triangle BAC $ và $ \triangle BMC $ đồng dạng (góc-góc-góc). Từ đó, ta có:

$$
\frac{BC}{BM} = \frac{AB}{AH}
$$

Suy ra:

$$
BC \cdot AB = AH \cdot BM
$$

c) Gọi D là giao điểm của MH và đường tròn (O). Tia BD cắt AH tại E. Chứng minh E là trung điểm của đoạn thẳng AH.

- Do D là giao điểm của MH và đường tròn (O), nên $MD$ là một dây cung của đường tròn (O).

- Xét tam giác $ \triangle BMD $ và $ \triangle BAH $, ta có:

- $ \angle BMD = \angle BAH $ (cùng chắn cung $BD$).
  - $ \angle BDM = \angle BHA $ (cùng chắn cung $BM$).

Do đó, hai tam giác $ \triangle BMD $ và $ \triangle BAH $ đồng dạng (góc-góc-góc). Từ đó, ta có:

$$
\frac{BD}{BA} = \frac{MD}{AH}
$$

- Vì $MD = AH$ (do D là điểm giữa của cung $MH$ không chứa B), nên $BD = BA$.

- Do đó, E là trung điểm của $AH$ vì $BE$ là đường trung bình của tam giác $ \triangle BAH $.

Vậy, E là trung điểm của đoạn thẳng AH.