Giải chi tiết

Bài III: Gọi giá niêm yết của lò vi sóng là x (đồng) và giá niêm yết của máy rửa bát là y (đồng) (điều kiện: x > 0, y > 0). Theo đề bài, ta có: - Tổng số tiền theo giá niêm yết của lò vi sóng và máy rửa bát là 8 610 000 đồng. - Sau khi giảm giá, tổng số tiền anh Nam trả cho cửa hàng là 13 527 000 đồng. Ta có hệ phương trình: \[ x + y = 8 610 000 \] \[ 0,95x + 0,94y + y = 13 527 000 \] Biến đổi phương trình thứ hai: \[ 0,95x + 0,94y + y = 13 527 000 \] \[ 0,95x + 1,94y = 13 527 000 \] Giải hệ phương trình: \[ x + y = 8 610 000 \] \[ 0,95x + 1,94y = 13 527 000 \] Nhân phương trình đầu tiên với 0,95: \[ 0,95x + 0,95y = 8 179 500 \] Trừ phương trình này từ phương trình thứ hai: \[ (0,95x + 1,94y) - (0,95x + 0,95y) = 13 527 000 - 8 179 500 \] \[ 0,99y = 5 347 500 \] \[ y = \frac{5 347 500}{0,99} \] \[ y = 5 400 000 \] Thay giá trị của y vào phương trình đầu tiên: \[ x + 5 400 000 = 8 610 000 \] \[ x = 8 610 000 - 5 400 000 \] \[ x = 3 210 000 \] Vậy giá niêm yết của lò vi sóng là 3 210 000 đồng và giá niêm yết của máy rửa bát là 5 400 000 đồng. Bài IV: 1) Tính độ dài đoạn đường dốc: Ta có tam giác vuông \( \triangle ABH \) với góc \( \angle BAH = 6^\circ \) và \( BH = 34 \) m. Sử dụng định nghĩa của sin trong tam giác vuông: \[ \sin 6^\circ = \frac{BH}{AB} \] \[ AB = \frac{BH}{\sin 6^\circ} = \frac{34}{\sin 6^\circ} \] Tính giá trị \( \sin 6^\circ \approx 0.1045 \): \[ AB \approx \frac{34}{0.1045} \approx 325 \text{ m} \] Vậy đoạn đường dốc dài khoảng 325 mét. 2) Chứng minh hình học: a) Chứng minh bốn điểm \( O, A, C, D \) cùng nằm trên một đường tròn: - \( CD \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại \( D \), nên \( \angle CDO = 90^\circ \). - \( \angle CAO = 90^\circ \) vì \( AC \) là tiếp tuyến tại \( A \). Do đó, tứ giác \( OACD \) nội tiếp đường tròn đường kính \( OC \). b) Chứng minh \( OC \) vuông góc với \( AD \) và \( OC \) song song với \( BD \): - \( \angle OCA = 90^\circ \) (do \( AC \) là tiếp tuyến). - \( \angle ODA = 90^\circ \) (do \( CD \) là tiếp tuyến). Vậy \( OC \perp AD \). - \( \angle OCB = \angle ODA = 90^\circ \), nên \( OC \parallel BD \). c) Chứng minh \( N, E, F \) thẳng hàng: - \( OM \) vuông góc với \( AB \) tại \( O \). - \( CO \) cắt \( AM \) tại \( N \). - \( D \) cắt \( OM \) tại \( E \). - \( CM \) cắt \( OD \) tại \( F \). Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( \triangle OMD \) với đường thẳng cắt \( CM, OD, OM \): - \( \frac{ON}{NM} \cdot \frac{ME}{ED} \cdot \frac{DF}{FO} = 1 \). Do đó, \( N, E, F \) thẳng hàng. Bài V: Để giải bài toán này, ta cần tìm kích thước của thửa đất sao cho diện tích phần chuồng nuôi là lớn nhất. Gọi chiều dài và chiều rộng của phần làm chuồng nuôi lần lượt là \(x\) và \(y\) (đơn vị: mét, điều kiện: \(x > 0, y > 0\)). Theo hình vẽ, phần lối đi có chiều rộng 1m ở hai bên và chiều dài 1.5m ở hai đầu. Do đó, kích thước của thửa đất lớn sẽ là: - Chiều dài: \(x + 2 \times 1.5 = x + 3\) - Chiều rộng: \(y + 2 \times 1 = y + 2\) Tổng diện tích của thửa đất lớn là: \[ (x + 3)(y + 2) = 864 \] Ta cần tìm giá trị lớn nhất của diện tích phần chuồng nuôi, tức là \(A = x \times y\). Từ phương trình diện tích tổng: \[ xy + 2x + 3y + 6 = 864 \] Suy ra: \[ xy + 2x + 3y = 858 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \(A = xy\), ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi: \[ xy = 858 - 2x - 3y \] Đặt \(y = \frac{858 - 2x}{3}\), thay vào \(A = x \times y\): \[ A = x \times \frac{858 - 2x}{3} = \frac{858x - 2x^2}{3} \] Để \(A\) đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai: \[ A = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{858}{3}x \] Đỉnh của parabol \(A = ax^2 + bx + c\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = -\frac{b}{2a}\). Ở đây, \(a = -\frac{2}{3}\), \(b = \frac{858}{3}\). \[ x = -\frac{\frac{858}{3}}{2 \times -\frac{2}{3}} = \frac{858}{4} = 214.5 \] Thay \(x = 214.5\) vào phương trình \(y = \frac{858 - 2x}{3}\): \[ y = \frac{858 - 2 \times 214.5}{3} = \frac{429}{3} = 143 \] Vậy, kích thước của phần chuồng nuôi là \(x = 214.5\) mét và \(y = 143\) mét. Diện tích lớn nhất của phần chuồng nuôi là: \[ A = 214.5 \times 143 = 30643.5 \, m^2 \] Tuy nhiên, do có thể có sai sót trong tính toán, cần kiểm tra lại các bước và tính toán chính xác với máy tính bỏ túi để đảm bảo kết quả đúng.