Gịvxkh b. C Bài 7. Cho phương trình $x^2-mx-3=0~(1)$,1) Giải phương trình với $m=-1.$,2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.,3) Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm là số nguyên âm lớn nhất. Tìm nghiệm,còn lại của phương trình.,Bài 8. Cho phương trình: $x^2-mx+m-2=0$ (với m là tham số).,1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.,2) Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=7.$

Question

Gịvxkh b.  C Bài 7. Cho phương trình $x^2-mx-3=0~(1)$,1) Giải phương trình với $m=-1.$,2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.,3) Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm là số nguyên âm lớn nhất. Tìm nghiệm,còn lại của phương trình.,Bài 8. Cho phương trình: $x^2-mx+m-2=0$ (với m là tham số).,1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.,2) Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=7.$

Accepted Answer

Bài 7.
1) Với $m = -1$, phương trình (1) trở thành:
$$ x^2 + x - 3 = 0 $$

Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
Ở đây, $a = 1$, $b = 1$, $c = -3$. Thay vào ta có:
$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2} $$

Vậy phương trình có hai nghiệm:
$$ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2} $$

2) Để chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$, ta kiểm tra biệt thức $\Delta$ của phương trình:
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
Ở đây, $a = 1$, $b = -m$, $c = -3$. Thay vào ta có:
$$ \Delta = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = m^2 + 12 $$

Vì $m^2 \geq 0$ với mọi $m$, nên $m^2 + 12 > 0$. Do đó, $\Delta > 0$ với mọi $m$, suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

3) Để phương trình (1) có một nghiệm là số nguyên âm lớn nhất, ta xét nghiệm của phương trình:
$$ x^2 - mx - 3 = 0 $$

Giả sử nghiệm số nguyên âm lớn nhất là $x = -1$. Thay vào phương trình ta có:
$$ (-1)^2 - m(-1) - 3 = 0 $$
$$ 1 + m - 3 = 0 $$
$$ m - 2 = 0 $$
$$ m = 2 $$

Với $m = 2$, phương trình trở thành:
$$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$

Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
Ở đây, $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$. Thay vào ta có:
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} $$

Vậy phương trình có hai nghiệm:
$$ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 $$

Do đó, nghiệm còn lại của phương trình là $x = 3$.

Đáp số:
1) Nghiệm của phương trình khi $m = -1$: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$, $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$.
2) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.
3) Khi $m = 2$, nghiệm còn lại của phương trình là $x = 3$.

Bài 8.
1) Ta có: $a=1$, $b=-m$, $c=m-2$. 
Tính $\Delta=b^2-4ac=(-m)^2-4\times 1\times (m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4>0$ với mọi $m$. 
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$. 
2) Theo bài ra ta có: $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=7$. 
Suy ra: $\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=7$. 
Suy ra: $x_1^2+x_2^2=7x_1x_2$. 
Suy ra: $(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7x_1x_2$. 
Suy ra: $(x_1+x_2)^2=9x_1x_2$. 
Theo hệ thức Vi-et ta có: $x_1+x_2=m$ và $x_1x_2=m-2$. 
Thay vào ta được: $m^2=9(m-2)$. 
Suy ra: $m^2-9m+18=0$. 
Suy ra: $(m-3)(m-6)=0$. 
Suy ra: $m=3$ hoặc $m=6$. 
Vậy $m=3$ hoặc $m=6$.