Minh can loi giai hay nhat

Bài 15. Gọi số học sinh của lớp 8A theo dự định ban đầu là: x (em, điều kiện: x > 0) Theo dự định ban đầu, số học sinh của mỗi tổ là: $\frac{x}{3}$ (em) Sau khi nhận thêm 4 học sinh, tổng số học sinh của lớp 8A là: x + 4 (em) Lúc này, số học sinh của mỗi tổ là: $\frac{x + 4}{4}$ (em) Theo đề bài, số học sinh của mỗi tổ hiện nay ít hơn 2 học sinh so với dự định ban đầu, ta có phương trình: $\frac{x}{3} - \frac{x + 4}{4} = 2$ Quy đồng mẫu số và giải phương trình: $\frac{4x - 3(x + 4)}{12} = 2$ $\frac{4x - 3x - 12}{12} = 2$ $\frac{x - 12}{12} = 2$ x - 12 = 24 x = 36 Vậy số học sinh của lớp 8A theo dự định ban đầu là 36 em. Sau khi nhận thêm 4 học sinh, tổng số học sinh của lớp 8A hiện nay là: 36 + 4 = 40 (em) Đáp số: 40 em Bài 16. Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ nhà đến trường là: $v_{\text{đi}} = 15$ km/h. Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi về là: $v_{\text{về}} = 12$ km/h. Gọi thời gian đi từ nhà đến trường là: $t_{\text{đi}}$ (giờ). Gọi thời gian về là: $t_{\text{về}}$ (giờ). Theo đề bài, thời gian về nhiều hơn thời gian đi là $\frac{1}{4}$ giờ, tức là: \[ t_{\text{về}} = t_{\text{đi}} + \frac{1}{4} \] Quãng đường từ nhà đến trường là: \[ d = v_{\text{đi}} \times t_{\text{đi}} = 15 \times t_{\text{đi}} \] Cũng là: \[ d = v_{\text{về}} \times t_{\text{về}} = 12 \times t_{\text{về}} \] Thay $t_{\text{về}} = t_{\text{đi}} + \frac{1}{4}$ vào phương trình trên: \[ 15 \times t_{\text{đi}} = 12 \times (t_{\text{đi}} + \frac{1}{4}) \] Phân phối 12 vào trong ngoặc: \[ 15 \times t_{\text{đi}} = 12 \times t_{\text{đi}} + 12 \times \frac{1}{4} \] \[ 15 \times t_{\text{đi}} = 12 \times t_{\text{đi}} + 3 \] Di chuyển $12 \times t_{\text{đi}}$ sang phía bên trái: \[ 15 \times t_{\text{đi}} - 12 \times t_{\text{đi}} = 3 \] \[ 3 \times t_{\text{đi}} = 3 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ t_{\text{đi}} = 1 \text{ giờ} \] Bây giờ ta tính quãng đường từ nhà đến trường: \[ d = 15 \times t_{\text{đi}} = 15 \times 1 = 15 \text{ km} \] Đáp số: Quãng đường từ nhà đến trường là 15 km. Bài 17. Gọi vận tốc của canô khi xuôi dòng là \( x \) km/h (điều kiện: \( x > 0 \)). Vì canô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ, nên quãng đường từ bến A đến bến B là: \[ 4x \text{ km} \] Vận tốc của canô khi ngược dòng sẽ là: \[ x - 2 \times 10 = x - 20 \text{ km/h} \] (vì vận tốc của dòng nước là 10 km/h, nên vận tốc ngược dòng giảm đi 2 lần vận tốc dòng nước). Vì canô ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ, nên quãng đường từ bến B đến bến A cũng là: \[ 5(x - 20) \text{ km} \] Quãng đường từ bến A đến bến B và từ bến B về bến A là cùng một đoạn đường, nên ta có phương trình: \[ 4x = 5(x - 20) \] Giải phương trình này: \[ 4x = 5x - 100 \] \[ 4x - 5x = -100 \] \[ -x = -100 \] \[ x = 100 \] Vậy vận tốc của canô khi xuôi dòng là 100 km/h. Quãng đường từ bến A đến bến B là: \[ 4 \times 100 = 400 \text{ km} \] Đáp số: 400 km. Bài 18. Gọi vận tốc dự định người đi bộ từ A đến B là $v_{1}$ với thời gian là $t_{1}$ giờ. Gọi vận tốc người đi ô tô từ giữa quãng đường AB đến B là $v_{2}$ với thời gian là $t_{2}$ giờ. Vì người đi bộ được nửa quãng đường AB với vận tốc $v_{1}$, nên thời gian đi nửa quãng đường AB là $\frac{t_{1}}{2}$ giờ. Thời gian thực tế người đi từ A đến B là $t_{1} + t_{2}$ giờ. Theo đề bài, thời gian thực tế ít hơn thời gian dự định 2 giờ 10 phút, tức là: $t_{1} + t_{2} = t_{1} - 2 giờ 10 phút$ $t_{2} = 2 giờ 10 phút = 2,17 giờ$ Quãng đường AB là $s$, nửa quãng đường AB là $\frac{s}{2}$. Ta có: $\frac{\frac{s}{2}}{v_{1}} + \frac{\frac{s}{2}}{v_{2}} = 2,17$ $\frac{s}{2} × (\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}}) = 2,17$ $s = 2,17 × 2 × \frac{v_{1} × v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$ $s = 2,17 × 2 × \frac{4 × 30}{4 + 30}$ $s = 2,17 × 2 × \frac{120}{34}$ $s = 2,17 × 2 × 3,53$ $s = 15,31 km$ Đáp số: 15,31 km Bài 19. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính số sản phẩm dự định sản xuất mỗi ngày: Số sản phẩm dự định sản xuất mỗi ngày là: \[ \frac{1500}{30} = 50 \text{ (sản phẩm/ngày)} \] 2. Tính số sản phẩm thực tế sản xuất mỗi ngày: Số sản phẩm thực tế sản xuất mỗi ngày là: \[ 50 + 15 = 65 \text{ (sản phẩm/ngày)} \] 3. Tính tổng số sản phẩm thực tế sản xuất: Tổng số sản phẩm thực tế sản xuất là: \[ 1500 + 255 = 1755 \text{ (sản phẩm)} \] 4. Tính số ngày thực tế sản xuất: Số ngày thực tế sản xuất là: \[ \frac{1755}{65} = 27 \text{ (ngày)} \] 5. Tính số ngày rút ngắn được: Số ngày rút ngắn được là: \[ 30 - 27 = 3 \text{ (ngày)} \] Đáp số: Thực tế xí nghiệp đã rút ngắn được 3 ngày. Bài 20. Gọi theo kế hoạch xưởng phải may x áo. Theo đề bài, ta có: $\frac{x}{30} - \frac{x + 20}{40} = 3$ $\frac{x}{30} - \frac{x + 20}{40} = 3$ $\frac{4x - 3(x + 20)}{120} = 3$ $4x - 3x - 60 = 360$ $x = 360 + 60$ $x = 420$ Đáp số: 420 áo Bài 21. Gọi số ngày dự định trồng cây là $x$ (ngày, điều kiện: $x > 1$). Theo đề bài, năng suất thực tế là $300 + 100 = 400$ (cây/ngày). Số cây dự định trồng là $300x$ (cây). Số cây thực tế trồng là $400(x - 1)$ (cây). Vì thực tế trồng thêm được 600 cây so với dự định, nên ta có phương trình: \[ 400(x - 1) = 300x + 600 \] Giải phương trình này: \[ 400x - 400 = 300x + 600 \] \[ 400x - 300x = 600 + 400 \] \[ 100x = 1000 \] \[ x = 10 \] Vậy số cây dự định trồng là: \[ 300 \times 10 = 3000 \text{ (cây)} \] Đáp số: 3000 cây. Bài 22. Gọi thời gian chạy bộ của anh Bình là \( x \) phút (điều kiện: \( 0 < x < 40 \)). Thời gian bơi của anh Bình là \( 40 - x \) phút. Số calo tiêu hao khi chạy bộ là \( 10x \) calo. Số calo tiêu hao khi bơi là \( 14(40 - x) \) calo. Theo đề bài, tổng số calo tiêu hao là 500 calo, ta có phương trình: \[ 10x + 14(40 - x) = 500 \] Mở ngoặc và thực hiện phép tính: \[ 10x + 560 - 14x = 500 \] Gộp các hạng tử có \( x \): \[ -4x + 560 = 500 \] Chuyển 560 sang phía bên phải: \[ -4x = 500 - 560 \] \[ -4x = -60 \] Chia cả hai vế cho -4: \[ x = \frac{-60}{-4} \] \[ x = 15 \] Vậy thời gian chạy bộ của anh Bình là 15 phút. Bài 23. Gọi số tiền chưa tính thuế VAT của loại hàng thứ nhất là \( x \) nghìn đồng (điều kiện: \( x > 0 \)). Số tiền chưa tính thuế VAT của loại hàng thứ hai là \( y \) nghìn đồng (điều kiện: \( y > 0 \)). Số tiền thuế VAT của loại hàng thứ nhất là \( \frac{10}{100} \times x = 0,1x \) nghìn đồng. Số tiền thuế VAT của loại hàng thứ hai là \( \frac{8}{100} \times y = 0,08y \) nghìn đồng. Theo đề bài, tổng số tiền phải trả là 120 nghìn đồng, trong đó đã tính cả 10 nghìn đồng thuế VAT. Do đó, ta có phương trình: \[ x + y + 0,1x + 0,08y = 120 \] Tổng số tiền thuế VAT là 10 nghìn đồng, nên ta cũng có phương trình: \[ 0,1x + 0,08y = 10 \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này. Đầu tiên, ta giải phương trình thứ hai để tìm \( y \): \[ 0,1x + 0,08y = 10 \] \[ 0,08y = 10 - 0,1x \] \[ y = \frac{10 - 0,1x}{0,08} \] \[ y = 125 - 1,25x \] Thay \( y = 125 - 1,25x \) vào phương trình đầu tiên: \[ x + (125 - 1,25x) + 0,1x + 0,08(125 - 1,25x) = 120 \] \[ x + 125 - 1,25x + 0,1x + 10 - 0,1x = 120 \] \[ x - 1,25x + 0,1x - 0,1x + 125 + 10 = 120 \] \[ -0,25x + 135 = 120 \] \[ -0,25x = 120 - 135 \] \[ -0,25x = -15 \] \[ x = \frac{-15}{-0,25} \] \[ x = 60 \] Thay \( x = 60 \) vào \( y = 125 - 1,25x \): \[ y = 125 - 1,25 \times 60 \] \[ y = 125 - 75 \] \[ y = 50 \] Vậy, nếu không tính thuế VAT, Lan phải trả cho loại hàng thứ nhất là 60 nghìn đồng và cho loại hàng thứ hai là 50 nghìn đồng. Bài 24. Gọi giá niêm yết của chiếc ti vi loại A là \( x \) triệu đồng (điều kiện: \( x > 0 \)). Giá niêm yết của chiếc tủ lạnh loại B là \( 36,8 - x \) triệu đồng. Sau khi giảm giá, giá bán của chiếc ti vi loại A là: \[ x - 0,3x = 0,7x \text{ (triệu đồng)} \] Sau khi giảm giá, giá bán của chiếc tủ lạnh loại B là: \[ (36,8 - x) - 0,25(36,8 - x) = 0,75(36,8 - x) \text{ (triệu đồng)} \] Theo đề bài, tổng số tiền bác Cường đã mua một chiếc ti vi và một chiếc tủ lạnh là 26,805 triệu đồng, ta có phương trình: \[ 0,7x + 0,75(36,8 - x) = 26,805 \] Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này: \[ 0,7x + 0,75 \times 36,8 - 0,75x = 26,805 \] \[ 0,7x + 27,6 - 0,75x = 26,805 \] \[ -0,05x + 27,6 = 26,805 \] \[ -0,05x = 26,805 - 27,6 \] \[ -0,05x = -0,795 \] \[ x = \frac{-0,795}{-0,05} \] \[ x = 15,9 \] Vậy giá niêm yết của chiếc ti vi loại A là 15,9 triệu đồng. Giá niêm yết của chiếc tủ lạnh loại B là: \[ 36,8 - 15,9 = 20,9 \text{ (triệu đồng)} \] Đáp số: Giá niêm yết của chiếc ti vi loại A là 15,9 triệu đồng và giá niêm yết của chiếc tủ lạnh loại B là 20,9 triệu đồng. Bài 25. Để hàm số $y = f(x) = (m^2 - m)x^2 + mx + 2$ là hàm số bậc nhất, hệ số của $x^2$ phải bằng 0, tức là $m^2 - m = 0$. Bước 1: Giải phương trình $m^2 - m = 0$. \[ m(m - 1) = 0 \] \[ m = 0 \text{ hoặc } m = 1 \] Bước 2: Kiểm tra điều kiện để hàm số bậc nhất. - Nếu $m = 0$, ta có $y = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 2 = 2$. Đây là hàm số hằng, không phải hàm số bậc nhất. - Nếu $m = 1$, ta có $y = (1^2 - 1)x^2 + 1 \cdot x + 2 = 0 \cdot x^2 + x + 2 = x + 2$. Đây là hàm số bậc nhất. Vậy, để hàm số $y = f(x) = (m^2 - m)x^2 + mx + 2$ là hàm số bậc nhất, giá trị của $m$ phải là $m = 1$. Đáp số: $m = 1$. Bài 26. a) Vẽ đồ thị của các hàm số $d_1:~y=-x+4$ và $d_2:~y=x-4$ trong cùng một mặt phẳng tọa độ. Đồ thị của hàm số $d_1:~y=-x+4$ là đường thẳng đi qua điểm $(0, 4)$ và $(4, 0)$. Đồ thị của hàm số $d_2:~y=x-4$ là đường thẳng đi qua điểm $(0, -4)$ và $(4, 0)$. b) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng $d_1$ và $d_2$ với trục tung và giao điểm của hai đường thẳng là C. Tìm tọa độ giao điểm A, B, C. - Giao điểm của $d_1$ với trục tung là A(0, 4). - Giao điểm của $d_2$ với trục tung là B(0, -4). - Để tìm giao điểm của $d_1$ và $d_2$, ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = -x + 4 \\ y = x - 4 \end{cases} \] Từ đây ta có: \[ -x + 4 = x - 4 \implies 2x = 8 \implies x = 4 \] Thay $x = 4$ vào $y = -x + 4$, ta được: \[ y = -4 + 4 = 0 \] Vậy giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là C(4, 0). c) Tính diện tích tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{cao} \] Ở đây, đáy là đoạn thẳng AB trên trục tung, có độ dài là: \[ AB = |4 - (-4)| = 8 \] Cao là khoảng cách từ điểm C đến trục tung, tức là hoành độ của C, là 4. Do đó, diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \] Đáp số: Diện tích tam giác ABC là 16. Bài 27. Để tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng luôn đi qua với mọi giá trị của \( m \), ta cần tìm tọa độ của điểm đó sao cho nó thỏa mãn phương trình đường thẳng cho mọi \( m \). a) \( y = (m-2)x + 3 \) Giả sử điểm cố định có tọa độ là \( (x_0, y_0) \). Thay vào phương trình ta có: \[ y_0 = (m-2)x_0 + 3 \] Để phương trình này đúng với mọi \( m \), hệ số của \( m \) phải bằng 0. Do đó: \[ x_0 = 0 \] Thay \( x_0 = 0 \) vào phương trình ta có: \[ y_0 = 3 \] Vậy điểm cố định là \( (0, 3) \). b) \( y = mx + (m + 2) \) Giả sử điểm cố định có tọa độ là \( (x_0, y_0) \). Thay vào phương trình ta có: \[ y_0 = mx_0 + (m + 2) \] \[ y_0 = mx_0 + m + 2 \] \[ y_0 = m(x_0 + 1) + 2 \] Để phương trình này đúng với mọi \( m \), hệ số của \( m \) phải bằng 0. Do đó: \[ x_0 + 1 = 0 \] \[ x_0 = -1 \] Thay \( x_0 = -1 \) vào phương trình ta có: \[ y_0 = 2 \] Vậy điểm cố định là \( (-1, 2) \). c) \( y = (m-1)x + (2m-1) \) Giả sử điểm cố định có tọa độ là \( (x_0, y_0) \). Thay vào phương trình ta có: \[ y_0 = (m-1)x_0 + (2m-1) \] \[ y_0 = mx_0 - x_0 + 2m - 1 \] \[ y_0 = m(x_0 + 2) - x_0 - 1 \] Để phương trình này đúng với mọi \( m \), hệ số của \( m \) phải bằng 0. Do đó: \[ x_0 + 2 = 0 \] \[ x_0 = -2 \] Thay \( x_0 = -2 \) vào phương trình ta có: \[ y_0 = -(-2) - 1 \] \[ y_0 = 2 - 1 \] \[ y_0 = 1 \] Vậy điểm cố định là \( (-2, 1) \). Đáp số: a) Điểm cố định là \( (0, 3) \) b) Điểm cố định là \( (-1, 2) \) c) Điểm cố định là \( (-2, 1) \) Bài 28. Để xác định đường thẳng $d: y = ax + b$ đi qua điểm $M(1; 2)$ và có hệ số góc bằng 3, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hệ số góc $a$. - Theo đề bài, hệ số góc $a = 3$. Bước 2: Thay tọa độ điểm $M(1; 2)$ vào phương trình đường thẳng để tìm $b$. - Ta có phương trình $y = 3x + b$. - Thay $x = 1$ và $y = 2$ vào phương trình: \[ 2 = 3 \cdot 1 + b \] \[ 2 = 3 + b \] \[ b = 2 - 3 \] \[ b = -1 \] Bước 3: Viết phương trình đường thẳng. - Vậy phương trình đường thẳng là: \[ y = 3x - 1 \] Bước 4: Vẽ đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. - Để vẽ đường thẳng, ta cần tìm tọa độ của hai điểm thuộc đường thẳng này. - Chọn $x = 0$, ta có: \[ y = 3 \cdot 0 - 1 = -1 \] Điểm $(0, -1)$ thuộc đường thẳng. - Chọn $x = 1$, ta có: \[ y = 3 \cdot 1 - 1 = 2 \] Điểm $(1, 2)$ thuộc đường thẳng. - Vẽ hai điểm $(0, -1)$ và $(1, 2)$ trên mặt phẳng tọa độ, sau đó nối hai điểm này bằng một đường thẳng. Vậy phương trình đường thẳng là $y = 3x - 1$.