cho parabol (p) y^2=2x. Điểm M thuộc (p) sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm của (p) bằng 4. Tính khoảng cách giữa điểm M và Oy

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tiêu điểm của parabol \( y^2 = 2x \). 2. Tìm tọa độ của điểm \( M \) trên parabol sao cho khoảng cách từ điểm \( M \) đến tiêu điểm bằng 4. 3. Tính khoảng cách giữa điểm \( M \) và trục \( Oy \). Bước 1: Xác định tiêu điểm của parabol \( y^2 = 2x \). Parabol \( y^2 = 2x \) có tiêu điểm nằm trên trục \( Ox \) và có tọa độ \( F \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \). Bước 2: Tìm tọa độ của điểm \( M \) trên parabol sao cho khoảng cách từ điểm \( M \) đến tiêu điểm bằng 4. Giả sử điểm \( M \) có tọa độ \( (x_0, y_0) \). Vì \( M \) thuộc parabol \( y^2 = 2x \), nên ta có: \[ y_0^2 = 2x_0 \] Khoảng cách từ điểm \( M \) đến tiêu điểm \( F \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \) là 4, tức là: \[ \sqrt{\left( x_0 - \frac{1}{2} \right)^2 + y_0^2} = 4 \] Thay \( y_0^2 = 2x_0 \) vào phương trình trên: \[ \sqrt{\left( x_0 - \frac{1}{2} \right)^2 + 2x_0} = 4 \] 平方并展开： \[ \left( x_0 - \frac{1}{2} \right)^2 + 2x_0 = 16 \] \[ x_0^2 - x_0 + \frac{1}{4} + 2x_0 = 16 \] \[ x_0^2 + x_0 + \frac{1}{4} = 16 \] \[ x_0^2 + x_0 - \frac{63}{4} = 0 \] 乘以4以清除分数： \[ 4x_0^2 + 4x_0 - 63 = 0 \] 解这个二次方程： \[ x_0 = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-63)}}{2 \cdot 4} \] \[ x_0 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 1008}}{8} \] \[ x_0 = \frac{-4 \pm \sqrt{1024}}{8} \] \[ x_0 = \frac{-4 \pm 32}{8} \] 所以，我们有两个解： \[ x_0 = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} \] \[ x_0 = \frac{-36}{8} = -\frac{9}{2} \] 因为点M在抛物线上，且抛物线的定义域为\( x \geq 0 \)，所以我们只取正数解： \[ x_0 = \frac{7}{2} \] 对应的\( y_0 \)值为： \[ y_0^2 = 2 \cdot \frac{7}{2} = 7 \] \[ y_0 = \pm \sqrt{7} \] 因此，点M的坐标可以是\( \left( \frac{7}{2}, \sqrt{7} \right) \)或\( \left( \frac{7}{2}, -\sqrt{7} \right) \)。 Bước 3: 计算点M到Oy轴的距离。 点M到Oy轴的距离就是它的横坐标的绝对值： \[ \text{距离} = \left| \frac{7}{2} \right| = \frac{7}{2} \] 因此，点M到Oy轴的距离是$\frac{7}{2}$。